Giải bài 10 trang 15 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Cho \(\tan x = 2\). Tính giá trị của các biểu thức sau: a) \(\frac{{3\sin x - 4\cos x}}{{5\sin x + 2\cos x}}\); b) \(\frac{{{{\sin }^3}x + 2{{\cos }^3}x}}{{2\sin x + 3\cos x}}\).
Đề bài
Cho \(\tan x = 2\). Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) \(\frac{{3\sin x - 4\cos x}}{{5\sin x + 2\cos x}}\);
b) \(\frac{{{{\sin }^3}x + 2{{\cos }^3}x}}{{2\sin x + 3\cos x}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác của một góc:
a) \(\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\)
b) \(\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}},\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x\)
Lời giải chi tiết
Vì tanx xác định nên \(\cos x \ne 0\).
a) \(\frac{{3\sin x - 4\cos x}}{{5\sin x + 2\cos x}} \) \( = \frac{{\frac{{3\sin x - 4\cos x}}{{\cos x}}}}{{\frac{{5\sin x + 2\cos x}}{{\cos x}}}} \) \( = \frac{{3\tan x - 4}}{{5\tan x + 2}} \) \( = \frac{{3.2 - 4}}{{5.2 + 2}} \) \( = \frac{2}{{12}} \) \( = \frac{1}{6}\).
b) \(\frac{{{{\sin }^3}x + 2{{\cos }^3}x}}{{2\sin x + 3\cos x}} \) \( = \frac{{\frac{{{{\sin }^3}x + 2{{\cos }^3}x}}{{{{\cos }^3}x}}}}{{\frac{{2\sin x + 3\cos x}}{{{{\cos }^3}x}}}} \) \( = \frac{{{{\tan }^3}x + 2}}{{\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\left( {2\tan x + 3} \right)}} \) \( = \frac{{{{\tan }^3}x + 2}}{{\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right)\left( {2\tan x + 3} \right)}}\)
\( \) \( = \frac{{{2^3} + 2}}{{\left( {{2^2} + 1} \right)\left( {2.2 + 3} \right)}} \) \( = \frac{{10}}{{5.7}} \) \( = \frac{2}{7}\)