Giải bài 106 trang 44 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và tiệm cận xiên (nếu có) của đồ thị mỗi hàm số sau: a) (y = frac{{ - 3{rm{x}} + 2}}{{{x^3} + 1}}); b) (y = frac{{{x^2} - 1}}{{2{rm{x}} + 1}}); c) (y = frac{x}{{sqrt {{x^2} + 1} }}).
Đề bài
Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và tiệm cận xiên (nếu có) của đồ thị mỗi hàm số sau:
a) y=−3x+2x3+1;
b) y=x2−12x+1;
c) y=x√x2+1.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Tìm tiệm cận đứng: Tính lim hoặc \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right), nếu một trong các giới hạn sau thoả mãn:
\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = - \infty
thì đường thẳng x = {x_0} là đường tiệm cận đứng.
‒ Tìm tiệm cận ngang: Nếu \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {y_0} hoặc \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = {y_0} thì đường thẳng y = {y_0} là đường tiệm cận ngang.
‒ Tìm tiệm cận xiên y = ax + b\left( {a \ne 0} \right):
a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} và b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - ax} \right] hoặc
a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} và b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - ax} \right]
Lời giải chi tiết
a) Hàm số có tập xác định là \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}.
Ta có:
• \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{ - 3{\rm{x}} + 2}}{{{x^3} + 1}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{ - 3{\rm{x}} + 2}}{{{x^3} + 1}} = + \infty
Vậy x = - 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
• \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 3{\rm{x}} + 2}}{{{x^3} + 1}} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 3{\rm{x}} + 2}}{{{x^3} + 1}} = 0
Vậy y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
b) Hàm số có tập xác định là \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.
Ta có:
• \mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{1}{2}}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{1}{2}}^ - }} \frac{{{x^2} - 1}}{{2{\rm{x}} + 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{1}{2}}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{1}{2}}^ + }} \frac{{{x^2} - 1}}{{2{\rm{x}} + 1}} = - \infty
Vậy {\rm{x}} = - \frac{1}{2} là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
• \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - 1}}{{2{\rm{x}} + 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} - 1}}{{2{\rm{x}} + 1}} = - \infty
Vậy hàm số không có tiệm cận ngang.
• a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - 1}}{{x\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}} = \frac{1}{2} và
b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \frac{1}{2}x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{{x^2} - 1}}{{2{\rm{x}} + 1}} - \frac{1}{2}x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - x - 2}}{{2\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}} = - \frac{1}{4}
Vậy đường thẳng y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4} là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.
c) Hàm số có tập xác định là \mathbb{R}.
Do đó đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
Ta có:
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = - 1
Vậy y = 1 và y = - 1 là các tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.