Giải bài 107 trang 44 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của mỗi hàm số: a) y=x3−2x2−7x+1 trên đoạn [−3;2]; b) y=x2+4x+4x+3 trên đoạn [−1;3]; c) y=(x2−2x+2)ex trên đoạn [−2;1]; d) y=ln√x2+1 trên đoạn [−√3;2√2]; e) y=x+cos2x trên đoạn [π4;π2].
Đề bài
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của mỗi hàm số:
a) y=x3−2x2−7x+1 trên đoạn [−3;2];
b) y=x2+4x+4x+3 trên đoạn [−1;3];
c) y=(x2−2x+2)ex trên đoạn [−2;1];
d) y=ln√x2+1 trên đoạn [−√3;2√2];
e) y=x+cos2x trên đoạn [π4;π2].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên đoạn [a;b]:
Bước 1. Tìm các điểm x1,x2,...,xn thuộc khoảng (a;b) mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
Bước 2. Tính f(x1),f(x2),...,f(xn),f(a) và f(b).
Bước 3. So sánh các giá trị tìm được ở Bước 2.
Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn [a;b], số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên đoạn [a;b].
Lời giải chi tiết
a) Ta có: y′=3x2−4x−7
Khi đó, trên đoạn [−3;2], y′=0 khi x=−1,x=73.
y(−3)=−23;y(−1)=5;y(73)=−36527;y(2)=−13.
Vậy max[−3;2]y=5 tại x=−1, min[−3;2]y=−23 tại x=−3.
b) Ta có: y′=x2+6x+8(x+3)2
Khi đó, trên đoạn [−1;3], y′=0 vô nghiệm.
y(−1)=12;y(3)=256.
Vậy max[−1;3]y=256 tại x=3, min[−1;3]y=12 tại x=−1.
c) Ta có: y′=x2ex
Khi đó, trên đoạn [−2;1], y′=0 khi x=0.
y(−2)=10e2;y(0)=2;y(1)=e.
Vậy max[−2;1]y=e tại x=1, min[−2;1]y=10e2 tại x=−2.
d) Ta có: y′=xx2+1
Khi đó, trên đoạn [−√3;2√2], y′=0 khi x=0.
y(−√3)=ln2;y(0)=0;y(2√2)=ln3.
Vậy max[−√3;2√2]y=ln3 tại x=2√2, min[−√3;2√2]y=0 tại x=0.
e) Ta có: y′=1−2sin2x
Khi đó, trên đoạn [π4;π2], y′=0 khi x=5π12.
y(π4)=π4;y(5π12)=5π12−√32;y(π2)=π2−1.
Vậy max[π4;π2]y=π4 tại x=π4, min[π4;π2]y=5π12−√32 tại x=5π12.