Giải bài 105 trang 43 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị mỗi hàm số sau: a) (y = frac{{3{rm{x}} - 4}}{{ - 2{rm{x}} + 5}}); b) (y = frac{{3{x^3} + x - 2}}{{{x^3} - 8}}); c) (y = frac{{sqrt {{x^2} + 1} }}{x}).
Đề bài
Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị mỗi hàm số sau:
a) y=3x−4−2x+5;
b) y=3x3+x−2x3−8;
c) y=√x2+1x.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Tìm tiệm cận đứng: Tính lim hoặc \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right), nếu một trong các giới hạn sau thoả mãn:
\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = - \infty
thì đường thẳng x = {x_0} là đường tiệm cận đứng.
‒ Tìm tiệm cận ngang: Nếu \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {y_0} hoặc \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = {y_0} thì đường thẳng y = {y_0} là đường tiệm cận ngang.
Lời giải chi tiết
a) Hàm số có tập xác định là \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{5}{2}} \right\}.
Ta có:
• \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{5}{2}}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{5}{2}}^ - }} \frac{{3{\rm{x}} - 4}}{{ - 2{\rm{x}} + 5}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{5}{2}}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{5}{2}}^ + }} \frac{{3{\rm{x}} - 4}}{{ - 2{\rm{x}} + 5}} = - \infty
Vậy x = \frac{5}{2} là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
• \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3{\rm{x}} - 4}}{{ - 2{\rm{x}} + 5}} = - \frac{3}{2};\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3{\rm{x}} - 4}}{{ - 2{\rm{x}} + 5}} = - \frac{3}{2}
Vậy y = - \frac{3}{2} là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
b) Hàm số có tập xác định là \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}.
Ta có:
• \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{3{x^3} + x - 2}}{{{x^3} - 8}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{3{x^3} + x - 2}}{{{x^3} - 8}} = + \infty
Vậy x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
• \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3{x^3} + x - 2}}{{{x^3} - 8}} = 3;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3{x^3} + x - 2}}{{{x^3} - 8}} = 3
Vậy y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
c) Hàm số có tập xác định là \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}.
Ta có:
• \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = + \infty
Vậy x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
• \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = - 1
Vậy y = 1 và y = - 1 là các tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.