Giải bài 109 trang 44 sách bài tập toán 12 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Từ một miếng bìa có độ dài hai cạnh lần lượt là 0,9 m và 1,5 m như Hình 32. Bạn Minh cắt đi phần tô màu xám và gấp lại để được một hình hộp chữ nhật. Gọi \(V\) là thể tích hình hộp chữ nhật được tạo thành, \(V\) được tính theo \(x\) bởi công thức nào? Tìm \(x\) để hình hộp tạo thành có thể tích lớn nhất.

Lời giải chi tiết

Do chiều dài của miếng bìa sau khi cắt đi thì độ dài dài nhất còn lại là \(4{\rm{x}}\) nên ta có:

\(0 < 4{\rm{x}} < 1,5 \Leftrightarrow 0 < {\rm{x}} < 0,375\)

Theo đề bài ta có:

Chiều dài đáy của hình hộp chữ nhật là: .

Chiều rộng đáy của hình hộp chữ nhật là: \({\rm{x}}\left( m \right)\).

Chiều cao của hình hộp chữ nhật là: \({\rm{x}}\left( m \right)\).

Khi đó, thể tích của hình hộp chữ nhật là: \(V = {x^2}\left( {0,9 - 2{\rm{x}}} \right)\left( {{m^3}} \right)\).

Xét hàm số \(V\left( x \right) = {x^2}\left( {0,9 - 2{\rm{x}}} \right) =  - 2{{\rm{x}}^3} + 0,9{{\rm{x}}^2}\) trên \(\left( {0;0,375} \right)\).

Ta có: \(V'\left( x \right) =  - 6{x^2} + 1,8{\rm{x}}\)

Khi đó, trên khoảng \(\left( {0;0,375} \right)\), \(V'\left( x \right) = 0\) khi \(x = 0,3\).

Bảng biến thiên:

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;0,375} \right)} V\left( x \right) = 0,027\) tại \(x = 0,3\).

Vậy khi \(x = 0,3\left( m \right)\) thì hình hộp tạo thành có thể tích lớn nhất.