Giải bài 17 trang 48 sách bài tập toán 12 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABC$ thoả mãn $\widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA} = {90^ \circ }$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$. Chứng minh rằng

$\frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{S{B^2}}} + \frac{1}{{S{C^2}}}$.

Lời giải chi tiết

Đặt $SA = a,SB = b,SC = c\left( {a,b,c > 0} \right)$. Vì các đường thẳng $SA,SB,SC$ đôi một vuông góc nên có thể gắn hệ trục toạ độ $Oxyz$ thoả mãn $S\left( {0;0;0} \right),A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ hay $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} - 1 = 0$.

Khi đó: $SH = d\left( {S,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {\frac{0}{a} + \frac{0}{b} + \frac{0}{c} - 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{a}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{b}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{c}} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} }}$.

Vậy $\frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{S{B^2}}} + \frac{1}{{S{C^2}}}$.