Giải bài 17 trang 73 sách bài tập toán 11 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm ${x_0} = 2$:

a) $f\left( x \right) = {e^{{x^2} + 2x}};$

b) $g\left( x \right) = \frac{{{3^x}}}{{{2^x}}};$

c) $h\left( x \right) = {2^x}{.3^{x + 2}};$

d) $k\left( x \right) = {\log _3}\left( {{x^2} - x} \right).$

Lời giải chi tiết

a) ${f'}\left( x \right) = {\left( {{e^{{x^2} + 2x}}} \right)^\prime } = {\left( {{x^2} + 2x} \right)^\prime }.{e^{{x^2} + 2x}} = \left( {2x + 2} \right).{e^{{x^2} + 2x}}.$

Đạo hàm của hàm số tại điểm ${x_0} = 2$: $f'\left( 2 \right) = \left( {2.2 + 2} \right).{e^{{2^2} + 2.2}} = 6.{e^8}.$

b) $g'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{3^x}}}{{{2^x}}}} \right)^\prime } = {\left( {{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^x}} \right)^\prime } = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^x}.\ln \frac{3}{2}.$

Đạo hàm của hàm số tại điểm ${x_0} = 2$: $g'\left( 2 \right) = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2}.\ln \frac{3}{2} = \frac{9}{4}.\ln \frac{3}{2}.$

c) $h'\left( x \right) = {\left( {{2^x}{{.3}^{x + 2}}} \right)^\prime } = {\left( {{{\left( {{2^x}} \right)}^\prime }{{.3}^{x + 2}} + {{\left( {{3^{x + 2}}} \right)}^\prime }{{.2}^x}} \right)^\prime } = {2^x}ln{2.3^{x + 2}} + {3^{x + 2}}.ln{3.2^x}$

$= {2^x}{.3^{x + 2}}\left( {\ln 2 + \ln 3} \right).$

Đạo hàm của hàm số tại điểm ${x_0} = 2$:

$h'\left( 2 \right) = {2^2}{.3^{2 + 2}}\left( {\ln 2 + \ln 3} \right) = 324.\left( {\ln 2 + \ln 3} \right).$

d) $k'\left( x \right) = {\left( {{{\log }_3}\left( {{x^2} - x} \right)} \right)^\prime } = \frac{{{{\left( {{x^2} - x} \right)}^\prime }}}{{ln3.{{\log }_3}\left( {{x^2} - x} \right)}} = \frac{{2x - 1}}{{ln3.{{\log }_3}\left( {{x^2} - x} \right)}}.$

Đạo hàm của hàm số tại điểm ${x_0} = 2$:

$k'\left( 2 \right) = \frac{{2.2 - 1}}{{\ln 3.{{\log }_3}\left( {{2^2} - 2} \right)}} = \frac{3}{{\ln 3.{{\log }_3}2}} = \frac{3}{{\ln 2}}.$