Giải bài 17 trang 75 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Sử dụng định nghĩa, chứng minh rằng:
Đề bài
Sử dụng định nghĩa, chứng minh rằng:
a) lim
b) \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}} = - 4
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng định nghĩa giới hạn hàm số tại một điểm: Cho khoảng K chứa điểm {x_0} và hàm số f\left( x \right) xác định trên K hoặc trên K \setminus \left\{ {{x_0}} \right\}. Hàm số f\left( x \right) có giới hạn là số L khi x dần tới {x_0} nếu với dãy số \left( {{x_n}} \right) bất kì, {x_n} \in K \setminus \left\{ {{x_0}} \right\} và {x_n} \to {x_0} thì f\left( {{x_n}} \right) \to L. Kí hiệu \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L.
Lời giải chi tiết
a) Xét hàm số f\left( x \right) = {x^3}. Giả sử \left( {{x_n}} \right) là dãy số bất kì thoả mãn \lim {x_n} = - 2.
Ta có \lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim x_n^3 = {\left( { - 2} \right)^3} = - 8. Như vậy \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {x^3} = - 8.
b) Xét hàm số g\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}. Giả sử \left( {{x_n}} \right) là dãy số bất kì thoả mãn {x_n} \ne - 2 và \lim {x_n} = - 2.
Ta có \lim g\left( {{x_n}} \right) = \lim \frac{{x_n^2 - 4}}{{{x_n} + 2}} = \lim \left( {{x_n} - 2} \right) = \left( { - 2} \right) - 2 = - 4.
Vậy \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}} = - 4.