Giải bài 2. 43 trang 57 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ tạo với nhau một góc bằng ${60^ \circ }$. Biết $\left| {\overrightarrow a } \right| = 2$ và $\left| {\overrightarrow b } \right| = 3$, tính $\;\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right|$ và $\;\left| {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right|$.

Lời giải chi tiết

Ta có $\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos {60^ \circ } = 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 3$. Ta bình phương $\;\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right|$ và $\;\left| {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right|$ để tìm giá trị của chúng như sau:

$\;{\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right|^2} = {\overrightarrow a ^2} + 2\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  + {\overrightarrow b ^2} = 4 + 6 + 9 = 19$ suy ra $\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \sqrt {19}$.

$\;{\left| {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right|^2} = {\overrightarrow a ^2} - 2\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  + {\overrightarrow b ^2} = 4 - 6 + 9 = 7$ suy ra $\left| {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right| = \sqrt 7$.