Giải bài 2.46 trang 57 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Trong không gian (Oxyz), cho hai điểm (Aleft( {3; - 1;m} right)) và (Bleft( {m;4;m} right)). a) Tính côsin của góc (widehat {AOB}) theo (m). b) Xác định tất cả các giá trị của (m) để (widehat {AOB}) là góc nhọn.
Đề bài
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {3; - 1;m} \right)\) và \(B\left( {m;4;m} \right)\).
a) Tính côsin của góc \(\widehat {AOB}\) theo \(m\).
b) Xác định tất cả các giá trị của \(m\) để \(\widehat {AOB}\) là góc nhọn.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ý a: Áp dụng công thức tính tính vô hướng của hai vectơ liên hệ với côsin của góc tạo bởi hai vectơ.
Ý b: Tìm m để \(\cos in\widehat {AOB} > 0\).
Lời giải chi tiết
a) Ta có \(\overrightarrow {OA} = \left( {3; - 1;m} \right)\) và \(\overrightarrow {OB} = \left( {m;4;m} \right)\).
Mặt khác \(\widehat {AOB} = \left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right)\), suy ra \(\cos in\widehat {AOB} = \cos in\left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right)\)\( = \frac{{\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB} }}{{\left| {\overrightarrow {OA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {OB} } \right|}}\)
\( = \frac{{{m^2} + 3m - 4}}{{\sqrt {10 + {m^2}} \sqrt {2{m^2} + 16} }}\).
b) Để \(\widehat {AOB}\) là góc nhọn thì \(\cos in\widehat {AOB} > 0\), suy ra \(\frac{{{m^2} + 3m - 4}}{{\sqrt {10 + {m^2}} \sqrt {2{m^2} + 16} }} > 0\)
\( \Leftrightarrow {m^2} + 3m - 4 > 0 \Leftrightarrow m < - 4\) hoặc \(m > 1\).