Giải bài 2. 45 trang 57 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình tứ diện $ABCD$ có ba cạnh $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc và $AB = 3,AC = 4,$

$AD = 6$. Xét hệ tọa độ $Oxyz$ có gốc $O$ trùng với đỉnh $A$ và các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt trùng với các tia $AB,AC,AD$. Gọi $E,F$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $ABD$ và $ACD$.

a) Tìm tọa độ của các đỉnh $B,C,D$.

b) Tìm tọa độ của các điểm $E,F$.

c) Chứng minh rằng $AD$ vuông góc với $EF$.

Lời giải chi tiết

a) Từ cách lập hệ trục tọa độ của đề bài ta có $B\left( {3;0;0} \right)$, $C\left( {0;4;0} \right)$ và $D\left( {0;0;6} \right)$.

b) Ta có $A\left( {0;0;0} \right)$.

Xét tam giác $ABD$, tọa độ trọng tâm $E$ là $E\left( {\frac{3}{3};0;\frac{6}{3}} \right) \Leftrightarrow E\left( {1;0;2} \right)$.

Xét tam giác $ABD$, tọa độ trọng tâm $F$ là $F\left( {0;\frac{4}{3};\frac{6}{3}} \right) \Leftrightarrow F\left( {0;\frac{4}{3};2} \right)$.

c) Ta có $\overrightarrow {AD}  = \left( {0;0;6} \right)$ và $\overrightarrow {EF}  = \left( { - 1;\frac{4}{3};0} \right)$ suy ra $\overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {EF}  = 0$. Do đó $AD$ vuông góc với $EF$.