Giải bài 33 trang 93 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2 — Không quảng cáo

SBT Toán 9 - Giải SBT Toán 9 - Cánh diều Bài tập cuối chương VIII - SBT Toán 9 CD


Giải bài 33 trang 93 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2

Cho đường tròn (I; r) cố định. Một tam giác ABC thay đổi, có chu vi bằng 16 cm và luôn ngoại tiếp đường tròn (I; r). Một tiếp tuyến song song với BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N. Tìm độ dài BC để MN có độ dài lớn nhất.

Đề bài

Cho đường tròn (I; r) cố định. Một tam giác ABC thay đổi, có chu vi bằng 16 cm và luôn ngoại tiếp đường tròn (I; r). Một tiếp tuyến song song với BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N. Tìm dộ dài BC để MN có độ dài lớn nhất.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng bất đẳng thức Cosi: a 2 + b 2 \( \ge \) 2ab (Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b).

Lời giải chi tiết

Giả sử đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA lần lượt tại D, F, E và BC = x.

Ta có MN // BC nên ∆AMN ᔕ ∆ABC.

Suy ra: \(\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\).

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{MN + AM + AN}}{{BC + AB + AC}} = \frac{{chu{\rm{ }}vi\Delta AMN}}{{chu{\rm{ }}vi\Delta ABC}}\)  (*)

Vì AD, AE là các tiếp tuyến của đường tròn (I; r) tại D, E nên AD = AE.

Tương tự, ta có BD = BF và CE = CF.

Do đó AD + AE = AB – BD + AC – CE

= AB + AC – (BD + CE)

= AB + AC – (BF + CF)

= AB + AC – BC.

Gọi H là tiếp điểm của đường tròn (I; r) với MN.

Hai tiếp tuyến MD, MH của đường tròn (I; r) cắt nhau tại M nên MD = MH.

Tương tự ta có NE = NH.

Ta có:

Chu vi ∆AMN

= AM + AN + MN

= AD – MD + AE – NE + MN

= AD + AE – (MD + NE) + MN

= AD + AE – (MH + NH) + MN

= AD + AE – MN + MN

= AD + AE

= AB + AC – BC

= AB + AC + BC – 2BC

= Chu vi ∆ABC – 2x (với x = BC)

= 16 – 2x.

Từ (*) ta có: \(\frac{MN}{BC}=\frac{chu\text{ }vi\Delta AMN}{chu\text{ }vi\Delta ABC}\), hay \(\frac{{MN}}{x} = \frac{{16 - 2x}}{{16}}\).

Từ đó MN = \(\frac{{x(16 - 2x)}}{{16}} = \frac{{2x(8 - x)}}{{16}} = \frac{{4x(8 - x)}}{{32}} \le \frac{{{{\left[ {x + (8 - x)} \right]}^2}}}{{32}} = 2\).

Do đó, MN có độ dài lớn nhất bằng 2 cm khi x = 8 – x hay x = 4, tức là BC = 4 cm.


Cùng chủ đề:

Giải bài 33 trang 22 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Giải bài 33 trang 37 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Giải bài 33 trang 66 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Giải bài 33 trang 72 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Giải bài 33 trang 91 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Giải bài 33 trang 93 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Giải bài 33 trang 116 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Giải bài 33 trang 136 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Giải bài 34 trang 22 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Giải bài 34 trang 38 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Giải bài 34 trang 66 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1