Giải bài 39 trang 103 sách bài tập toán 8 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Cho tứ giác $ABCD$ có $E,F,G,H$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC,CD,DA$. Điều kiện của tứ giác $ABCD$ để tứ giác $EFGH$ là hình chữ nhật là:

A.  $BD = AC$

B.  $AB \bot BC$

C.  $BD \bot AC$

D.  $AB = CD$

Lời giải chi tiết

Nối $AC,BD$

Xét tam giác $ABCD$ có $E,H$ lần lượt là trung điểm của $AB,AD$ nên $EH$ là đường trung bình của tam giác $ABD$.

Suy ra $EH//BD,EH = \frac{1}{2}BD$ (1)

Tương tự xét tam giác $CBD$ có $F,G$ lần lượt là trung điểm của $BC,CD$ nên $Fg$ là đường trung bình của tam giác $CBD$ suy ra $FG//BD,FG = \frac{1}{2}BD$ (2)

Từ (1), (2) suy ra $EH//FG;EH = FG$ nên $EFGH$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Để hình bình hành $EFGH$ là hình chữ nhật thì $\widehat {EHG} = 90^\circ$ hay $EH \bot HG$

Lại có $HG//AC$ (do $HG$ là đường trung bình của tam giác $DAC$) nên $EH \bot AC$ mà $EH \bot BD$ (cmt) nên $AC \bot BD$.

Vậy tứ giác $ABCD$ cần có $AC \bot BD$ thì $EFGH$ là hình chữ nhật.

→   Đáp án đúng là đáp án C.