Giải bài 41 trang 75 sách bài tập toán 8 – Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Hình thang $ABCD$ ở Hình 39 có $AB//CD,AB < CD,\widehat {ABD} = 90^\circ$. Hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $G$. Điểm $E$ nằm trên đường vuông góc với $AC$ tại $C$ thỏa mãn $CE = AG$ và đoạn thẳng $GE$ không cắt đường thẳng $CD$. Điểm $F$ nằm trên đoạn thẳng $DC$ và $DF = GB$. Chứng minh:

a)      $\Delta FGD\backsim \Delta ECG$;

b)     $\Delta GDC\backsim \Delta GFE$;

c)      $\widehat {GFE} = 90^\circ$.

Lời giải chi tiết

a)      Do $AB//CD$ nên $\frac{{BG}}{{AG}} = \frac{{GD}}{{GC}}$.

Mặt khác $AG = CE,BG = DF$ nên $\frac{{DF}}{{CE}} = \frac{{GD}}{{GC}}$.

Mà $\widehat {GDF} = \widehat {GCE}$ nên $\Delta FDG\backsim \Delta ECG$.

b)     Vì $\Delta FDG\backsim \Delta ECG$ nên $\widehat {DGF} = \widehat {CGE}$ và $\frac{{DG}}{{GF}} = \frac{{GC}}{{GE}}$.

$\widehat {DGF} = \widehat {CGE} =  > \widehat {DGF} + \widehat {FGC} =  + \widehat {FGC}$.

Hay $\widehat {DGC} = \widehat {FGE}$.

Từ đó, ta có $\Delta GDC\backsim \Delta GFE$ vì $\frac{DG}{GF}=\frac{GC}{GE}$ và $\widehat{DGC}=\widehat{FGE}$.

c)      Vì $\Delta GDC\backsim \Delta GFE$ nên $\widehat {GFE} = \widehat {GDC} = 90^\circ$.