Giải bài 39 trang 92 SBT toán 10 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Cho tam giác đều ABC cạnh a . Tính:

a)  $\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} } \right|$

b) $\left| {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} } \right|$

c) $\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right|$

Lời giải chi tiết

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Khi đó $\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0$, $GA = GB = GC = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$

a) Ta có: $\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = a$

b) Ta có: $\left| {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = BC = a$

c) Ta có: $\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\left( {\overrightarrow {GB}  - \overrightarrow {GA} } \right) + \left( {\overrightarrow {GC}  - \overrightarrow {GA} } \right)} \right| = \left| {\left( {\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right) - 2\overrightarrow {GA} } \right|$ (1)

Lại có: $\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  =  - \overrightarrow {GA}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| { - \overrightarrow {GA}  - 2\overrightarrow {GA} } \right| = \left| { - 3\overrightarrow {GA} } \right| = 3\left| {\overrightarrow {GA} } \right| = 3GA = 3.\frac{{a\sqrt 3 }}{3} = a\sqrt 3$