Giải bài 39 trang 92 SBT toán 10 - Cánh diều
Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính:
Đề bài
Cho tam giác đều ABC cạnh a . Tính:
a) \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right|\)
b) \(\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right|\)
c) \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right|\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Bước 1: Lấy G là trọng tâm tam giác ABC
Bước 2: Sử dụng quy tắc cộng, quy tắc trừ, quy tắc 3 điểm (lấy G là điểm trung gian) để biến đổi và tính độ dài các vectơ tương ứng
Lời giải chi tiết
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
Khi đó \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \), \(GA = GB = GC = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
a) Ta có: \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = a\)
b) Ta có: \(\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = BC = a\)
c) Ta có: \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\left( {\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GA} } \right) + \left( {\overrightarrow {GC} - \overrightarrow {GA} } \right)} \right| = \left| {\left( {\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) - 2\overrightarrow {GA} } \right|\) (1)
Lại có: \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = - \overrightarrow {GA} \) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| { - \overrightarrow {GA} - 2\overrightarrow {GA} } \right| = \left| { - 3\overrightarrow {GA} } \right| = 3\left| {\overrightarrow {GA} } \right| = 3GA = 3.\frac{{a\sqrt 3 }}{3} = a\sqrt 3 \)