Giải bài 4 trang 114 vở thực hành Toán 9 — Không quảng cáo

Đề bài

Cho SA và SB là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (O) (A và B là hai tiếp điểm). Gọi M là một điểm tùy ý trên cung nhỏ AB. Tiếp tuyến của (O) tại M cắt SA tại E và cắt SB tại F.

a) Chứng minh rằng chu vi của tam giác SEF=SA+SB.

b) Giả sử M là giao điểm của đoạn SO với đường tròn (O). Chứng minh rằng $SE = SF$.

Lời giải chi tiết

(H.5.31)

a) Xét hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại E ta có $EA = ME$. Tương tự, có $FB = FM$.

Chu vi của tam giác SEF là

${P_{SEF}} = SE + EF + SF = SE + ME + MF + SF = SE + EA + FB + SF$

$= \left( {SE + EA} \right) + \left( {FB + SF} \right) = SA + SB$ (điều phải chứng minh)

b) Giả sử M trùng với giao điểm của SO và (O).

Xét hai tiếp tuyến SA, SB của (O) cắt nhau tại S, ta có $SA = SB$ và SO là tia phân giác của góc ASB.

Tam giác SAB cân tại S (do $SA = SB$) có SO là đường phân giác nên đồng thời là đường cao của tam giác, tức là $SO \bot AB$.

EF là tiếp tuyến của (O) tại M nên $EF \bot SO$.

Từ đó suy ra EF//AB (cùng vuông góc với SO).

Tam giác SAB có EF//AB nên $\frac{{SE}}{{SA}} = \frac{{SF}}{{SB}}$, mà $SA = SB$, do đó $SE = SF$ (điều phải chứng minh)