Giải bài 4 trang 17 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

SBT Toán 12 - Giải SBT Toán 12 - Chân trời sáng tạo Bài 2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số


Giải bài 4 trang 17 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) (y = frac{{4{{rm{x}}^2} - 2{rm{x}} + 9}}{{2{rm{x}} - 1}}) trên khoảng (left( {1; + infty } right)); b) (y = frac{{{x^2} - 2}}{{2{rm{x}} + 1}}) trên nửa khoảng (left[ {0; + infty } right)); c) (y = frac{{9{{rm{x}}^2} + 3{rm{x}} + 7}}{{3{rm{x}} - 1}}) trên nửa khoảng (left( {frac{1}{3};5} right]); d) (y = frac{{2{{rm{x}}^2} + 3{rm{x}} - 3}}{{2{rm{x}} + 5}}) trên đoạn (left[ { - 2;4} right]

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{4{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} + 9}}{{2{\rm{x}} - 1}}\) trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\);

b) \(y = \frac{{{x^2} - 2}}{{2{\rm{x}} + 1}}\) trên nửa khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\);

c) \(y = \frac{{9{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + 7}}{{3{\rm{x}} - 1}}\) trên nửa khoảng \(\left( {\frac{1}{3};5} \right]\);

d) \(y = \frac{{2{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} - 3}}{{2{\rm{x}} + 5}}\) trên đoạn \(\left[ { - 2;4} \right]\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

• Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\):

Bước 1. Tìm các điểm \({x_1},{x_2},...,{x_n}\) thuộc khoảng \(\left( {a;b} \right)\) mà tại đó \(f'\left( x \right)\) bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 2. Tính \(f\left( a \right);f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);...;f\left( {{x_n}} \right);f\left( b \right)\).

Bước 3. Gọi \(M\) là số lớn nhất và \(m\) là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được ở Bước 2. Khi đó: \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right),m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\).

• Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng hay nửa khoảng bằng đạo hàm:

‒ Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp đó.

‒ Căn cứ vào bảng biến thiên, kết luận giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số.

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{4{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} + 9}}{{2{\rm{x}} - 1}}\) trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \frac{{{{\left( {4{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} + 9} \right)}^\prime }\left( {2{\rm{x}} - 1} \right) - \left( {4{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} + 9} \right){{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{\left( {8{\rm{x}} - 2} \right)\left( {2{\rm{x}} - 1} \right) - \left( {4{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} + 9} \right).2}}{{{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}} = \frac{{8{{\rm{x}}^2} - 8{\rm{x}} - 16}}{{{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}}\end{array}\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2\) hoặc \(x =  - 1\) (loại).

Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\):

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{\left( {1; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 7\), hàm số không có giá trị lớn nhất trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).

b) Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2}}{{2{\rm{x}} + 1}}\) trên nửa khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \frac{{{{\left( {{x^2} - 2} \right)}^\prime }\left( {2{\rm{x}} + 1} \right) - \left( {{x^2} - 2} \right){{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{\rm{x}}\left( {2{\rm{x}} + 1} \right) - \left( {{x^2} - 2} \right).2}}{{{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{2{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}} + 4}}{{{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{7}{2}}}{{{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \left[ {0; + \infty } \right)\\\end{array}\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2\) hoặc \(x =  - 1\) (loại).

Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\):

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) =  - 2\), hàm số không có giá trị lớn nhất trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\).

c) Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{9{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + 7}}{{3{\rm{x}} - 1}}\) trên nửa khoảng \(\left( {\frac{1}{3};5} \right]\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \frac{{{{\left( {9{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + 7} \right)}^\prime }\left( {3{\rm{x}} - 1} \right) - \left( {9{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + 7} \right){{\left( {3{\rm{x}} - 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {3{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{\left( {18{\rm{x}} + 3} \right)\left( {3{\rm{x}} - 1} \right) - \left( {9{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + 7} \right).3}}{{{{\left( {3{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}} = \frac{{27{{\rm{x}}^2} - 18{\rm{x}} - 24}}{{{{\left( {3{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}}\\\end{array}\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{4}{3}\) hoặc \(x =  - \frac{2}{3}\) (loại).

Bảng biến thiên của hàm số trên nửa khoảng \(\left( {\frac{1}{3};5} \right]\):

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{\left( {\frac{1}{3};5} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\frac{4}{3}} \right) = 9\), hàm số không có giá trị lớn nhất trên nửa khoảng \(\left( {\frac{1}{3};5} \right]\).

d) Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} - 3}}{{2{\rm{x}} + 5}}\) trên đoạn \(\left[ { - 2;4} \right]\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \frac{{{{\left( {2{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} - 3} \right)}^\prime }\left( {2{\rm{x}} + 5} \right) - \left( {2{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} - 3} \right){{\left( {2{\rm{x}} + 5} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {2{\rm{x}} + 5} \right)}^2}}}\\ = \frac{{\left( {4{\rm{x}} + 3} \right)\left( {2{\rm{x}} + 5} \right) - \left( {2{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} - 3} \right).2}}{{{{\left( {2{\rm{x}} + 5} \right)}^2}}} = \frac{{4{{\rm{x}}^2} + 20{\rm{x}} + 21}}{{{{\left( {2{\rm{x}} + 5} \right)}^2}}}\\\end{array}\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x =  - \frac{3}{2}\) hoặc \(x =  - \frac{7}{2}\) (loại).

\(f\left( { - 2} \right) = \frac{{11}}{9};f\left( { - \frac{3}{2}} \right) =  - \frac{3}{2};f\left( 4 \right) = \frac{{41}}{{13}}\)

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( 4 \right) = \frac{{41}}{{13}},\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - \frac{3}{2}} \right) =  - \frac{3}{2}\).


Cùng chủ đề:

Giải bài 3 trang 107 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Giải bài 3 trang 109 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Giải bài 4 trang 9 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Giải bài 4 trang 10 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Giải bài 4 trang 14 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Giải bài 4 trang 17 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Giải bài 4 trang 21 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Giải bài 4 trang 22 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Giải bài 4 trang 23 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Giải bài 4 trang 25 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Giải bài 4 trang 31 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo