Giải bài 4 trang 21 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hàm số $y = {x^2} - 2x$ có đồ thị $\left( C \right)$. Kí hiệu $A$ là hình phẳng giới hạn bởi $\left( C \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0,x = 2$; $B$ là hình phẳng giới hạn bởi $\left( C \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 2,x = a\left( {a > 2} \right)$. Tìm giá trị của $a$ để $A$ và $B$ có diện tích bằng nhau.

Lời giải chi tiết

Ta có:

$\begin{array}{l}{S_A} = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right|dx}  = \int\limits_0^2 {\left( { - {x^2} + 2{\rm{x}}} \right)dx}  = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2}} \right)} \right|_0^2 = \frac{4}{3}\\{S_B} = \int\limits_2^a {\left| {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right|dx}  = \int\limits_2^a {\left( {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right)dx}  = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)} \right|_2^a = \frac{{{a^3}}}{3} - {a^2} + \frac{4}{3}\end{array}$

Vì $A$ và $B$ có diện tích bằng nhau nên ta có:

$\frac{4}{3} = \frac{{{a^3}}}{3} - {a^2} + \frac{4}{3} \Leftrightarrow \frac{{{a^3}}}{3} - {a^2} = 0 \Leftrightarrow a = 0$ (loại) hoặc ${\rm{a}} = 3$.

Vậy với ${\rm{a}} = 3$ thì $A$ và $B$ có diện tích bằng nhau.