Giải bài 5.31 trang 71 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1
Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến PA và PB đến đường tròn (A và B là hai tiếp điểm). a) Chứng minh rằng (PO bot AB). b) Gọi C là điểm đối xứng với A qua O. Chứng minh rằng BC//PO. c) Tính độ dài các cạnh của tam giác PAB, biết OA=3cm và OP=5cm.
Đề bài
Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến PA và PB đến đường tròn (A và B là hai tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng PO⊥AB.
b) Gọi C là điểm đối xứng với A qua O. Chứng minh rằng BC//PO.
c) Tính độ dài các cạnh của tam giác PAB, biết OA=3cm và OP=5cm.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) + Chứng minh PA=PB và PO là tia phân giác của góc APB.
+ Chứng minh tam giác PAB cân tại P, suy ra PO là đường trung trực của tam giác AP nên PO⊥AB.
b) + Chứng minh C thuộc (O).
+ Chứng minh tam giác ABC vuông tại B. Do đó, BA⊥BC. Mà PO⊥AB(cmt) nên BC//PO.
c) + Chứng minh PA⊥OA.
+ Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác OAP vuông tại tính được PA, suy ra, PA=PB=4cm.
+ Gọi H là giao điểm của PO và AB. Theo a ta có: AH⊥OP và AB=2AH.
+ AH.OP=OA.PA(=2SΔAOP) nên AH=OA.APOP nên tính được AB.
Lời giải chi tiết
a) Vì PA và PB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại P của (O) nên PA=PB, PO là tia phân giác của góc APB.
Vì PA=PB nên tam giác PAB cân tại P. Do đó, PO là đường phân giác đồng thời là đường trung trực của tam giác ABP. Suy ra: PO⊥AB.
b) Vì C là điểm đối xứng với A qua O nên OA=OC. Do đó, C thuộc (O).
Vì OB=OC=OA=12AC nên tam giác BAC có trung tuyến BO có độ dài bằng nửa độ dài cạnh AC nên tam giác ABC vuông tại B. Do đó, BA⊥BC. Mà PO⊥AB(cmt) nên BC//PO.
c) Vì PA tiếp xúc với (O) tại A nên PA⊥OA.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác OAP vuông tại A có: OA2+AP2=OP2 nên PA=√OP2−OA2=√52−32=4(cm)
Do đó, PA=PB=4cm
Gọi H là giao điểm của PO và AB. Theo a ta có: AH⊥OP và AB=2AH.
Ta có: AH.OP=OA.PA(=2SΔAOP) nên AH=OA.APOP=3.45=2,4(cm).
Do đó, AB=2AH=2.2,4=4,8(cm).