Giải bài 5.34 trang 72 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1
Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài với nhau tại A, hai điểm (B in left( O right)) và (C in left( {O'} right)) sao cho B và C nằm cùng phía đối với đường thẳng OO’ và OB//O’C. a) Chứng minh góc BAC là góc vuông. b) Cho biết (R = 3cm), (R' = 1cm) và BC cắt OO’ tại D. Tính độ dài đoạn OD.
Đề bài
Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài với nhau tại A, hai điểm B∈(O) và C∈(O′) sao cho B và C nằm cùng phía đối với đường thẳng OO’ và OB//O’C.
a) Chứng minh góc BAC là góc vuông.
b) Cho biết R=3cm, R′=1cm và BC cắt OO’ tại D. Tính độ dài đoạn OD.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) + Chứng minh tam giác AOB cân tại O nên ^A1=^B1.
+ Tam giác AOB có:
^A1+^O1+^B1=2^A1+^O1=180o nên 2^A1=180o−^O1.
+ Chứng minh tam giác AO’C cân tại O’. Do đó, ^A2=^O′CA.
+ Tam giác AO’C có:
^A2+^O′1+^O′CA=2^A2+^O′1=180o nên 2^A2=180o−^O′1.
+ Do đó:
2(^A1+^A2)=360o−(^O1+^O′1) (1)
Chứng minh
^O2=^O′1, ^O2+^O1=180o nên ^O1+^O′1=180o (2)
Từ (1) và (2) ta có:
2(^A1+^A2)=360o−180o=180o nên ^BAC=90o.
b) + Ta có: OA=OB=R=3cm,O′A=O′C=R′=1cm.
+ Chứng minh DODO′=OBO′C=31
+ DO′=DO−OO′=DO−(OA+O′A) =DO−(3+1)=DO−4 (4)
+ Do đó, DODO−4=31, từ đó tính được DO.
Lời giải chi tiết
a) Vì OA=OB (bán kính của (O)) nên tam giác AOB cân tại O. Do đó, ^A1=^B1.
Tam giác AOB có:
^A1+^O1+^B1=2^A1+^O1=180o nên 2^A1=180o−^O1.
Vì O′A=O′C (bán kính của (O’)) nên tam giác AO’C cân tại O’. Do đó, ^A2=^O′CA.
Tam giác AO’C có:
^A2+^O′1+^O′CA=2^A2+^O′1=180o nên 2^A2=180o−^O′1.
Do đó:
2(^A1+^A2)=360o−(^O1+^O′1) (1)
Vì OB//O’C nên ^O2=^O′1 (hai góc đồng vị).
Lại có: ^O2+^O1=180o nên ^O1+^O′1=180o (2).
Từ (1) và (2) ta có:
2(^A1+^A2)=360o−180o=180o nên ^A1+^A2=90o, suy ra ^BAC=90o.
b) Ta có: OA=OB=R=3cm,O′A=O′C=R′=1cm.
Tam giác DOB có O’C//OB nên
DODO′=OBO′C=31 (3)
Lại có:
DO′=DO−OO′=DO−(OA+O′A)=DO−(3+1)=DO−4(4)
Từ (3) và (4) ta có:
DODO−4=31, suy ra DO=3(DO−4), hay 2DO=12, suy ra DO=6cm.