Giải bài 5.7 trang 59 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1
Cho tam giác cân ABC (AB=AC). Gọi (O) là đường tròn đi qua ba điểm A, B, C và E là điểm trên cung nhỏ BC sao cho oversetfrownBE=oversetfrownEC. a) Chứng minh rằng ba điểm A, O, E thẳng hàng. b) Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống BC. Chứng minh rằng (AH < AB < AE).
Đề bài
Cho tam giác cân ABC (AB=AC). Gọi (O) là đường tròn đi qua ba điểm A, B, C và E là điểm trên cung nhỏ BC sao cho ⌢BE=⌢EC.
a) Chứng minh rằng ba điểm A, O, E thẳng hàng.
b) Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống BC. Chứng minh rằng AH<AB<AE.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) + Chứng minh ΔOAB=ΔOAC(c.c.c). Suy ra ^AOB=^AOC, suy ra ⌢AB=⌢AC
+ Mà ⌢BE=⌢EC. Suy ra: sđ⌢ABE=sđ⌢ACE.
+ Vì sđ⌢ABE+sđ⌢ACE=360o nên sđ⌢ABE=sđ⌢ACE=360o2=180o, suy ra ba điểm A, O, E thẳng hàng.
b) + Vì EA đi qua O nên AE là đường kính của (O), AB là dây không đi qua O nên AB<AE.
+ Tam giác ABH vuông tại H nên AB là cạnh huyền. Do đó, AH<AB.
+ Vậy AH<AB<AE.
Lời giải chi tiết
a) Tam giác OAB và tam giác OAC có: OA chung, AB=AC,OB=OC nên ΔOAB=ΔOAC(c.c.c).
Suy ra ^AOB=^AOC.
Mà AOB là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB, AOC là góc ở tâm chắn cung nhỏ AC. Do đó, ⌢AB=⌢AC
Theo giả thiết, ⌢BE=⌢EC. Do đó, sđ⌢AB+sđ⌢BE=sđ⌢EC+sđ⌢AC
Suy ra: sđ⌢ABE=sđ⌢ACE. Mà sđ⌢ABE+sđ⌢ACE=360o nên sđ⌢ABE=sđ⌢ACE=360o2=180o
Do đó, cung ABE là nửa đường tròn. Vậy ba điểm A, O, E thẳng hàng.
b) Vì EA đi qua O nên AE là đường kính của (O), AB là dây không đi qua O nên AB<AE.
Tam giác ABH vuông tại H nên AB là cạnh huyền. Do đó, AH<AB.
Vậy AH<AB<AE.