Giải bài 5 trang 46 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y + 2z + 12 = 0,\left( Q \right):4x + 2y + 4z - 6 = 0\). a) Chứng minh \(\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\). b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).
Đề bài
Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y + 2z + 12 = 0,\left( Q \right):4x + 2y + 4z - 6 = 0\).
a) Chứng minh \(\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\).
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Cho hai mặt phẳng \(\left( {{\alpha _1}} \right):{A_1}x + {B_1}y + {C_1}{\rm{z}} + {D_1} = 0\) và \(\left( {{\alpha _2}} \right):{A_2}x + {B_2}y + {C_2}{\rm{z}} + {D_2} = 0\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {{A_1};{B_1};{C_1}} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {{A_2};{B_2};{C_2}} \right)\).
Khi đó \(\left( {{\alpha _1}} \right)\parallel \left( {{\alpha _2}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_1}} = k\overrightarrow {{n_2}} \\{D_1} \ne k{{\rm{D}}_2}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{R}} \right)\)
‒ Để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ta đưa về tính khoảng cách từ một điểm trên mặt phẳng này đến mặt phẳng còn lại.
Lời giải chi tiết
a) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;1;2} \right)\), mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {4;2;4} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {{n_1}} = \frac{1}{2}\overrightarrow {{n_2}} \) và \(12 \ne \frac{1}{2}.\left( { - 6} \right)\) nên \(\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\).
b) Lấy điểm \(A\left( {0;0; - 6} \right) \in \left( P \right)\). Khi đó ta có:
\(d\left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = d\left( {A;\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {4.0 + 2.0 + 4.\left( { - 6} \right) - 6} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {2^2} + {4^2}} }} = 5\).