Giải bài 5 trang 60 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Người ta muốn thiết kế một quả địa cầu trong không gian \(Oxyz\) bằng phần mềm 3D. Biết phương trình mặt cầu là \(\left( S \right):{\left( {x - 24} \right)^2} + {\left( {y - 24} \right)^2} + {\left( {z - 24} \right)^2} = 100\) (đơn vị cm) và phương trình đường thẳng trục xoay là \({\rm{d}}:\frac{{x - 24}}{1} = \frac{{y - 24}}{1} = \frac{{z - 24}}{{3,25}}\). a) Tìm toạ độ giao điểm của \(d\) và \(\left( S \right)\). b) Tính số đo góc giữa \(d\) và trục \(Oz\). Làm tròn kết quả đến hàng
Đề bài
Người ta muốn thiết kế một quả địa cầu trong không gian \(Oxyz\) bằng phần mềm 3D.
Biết phương trình mặt cầu là
\(\left( S \right):{\left( {x - 24} \right)^2} + {\left( {y - 24} \right)^2} + {\left( {z - 24} \right)^2} = 100\) (đơn vị cm)
và phương trình đường thẳng trục xoay là
\({\rm{d}}:\frac{{x - 24}}{1} = \frac{{y - 24}}{1} = \frac{{z - 24}}{{3,25}}\).
a) Tìm toạ độ giao điểm của \(d\) và \(\left( S \right)\).
b) Tính số đo góc giữa \(d\) và trục \(Oz\). Làm tròn kết quả đến hàng phần mười của độ.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Viết phương trình đường thẳng \(d\) theo tham số \(t\) rồi thay vào phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) để tìm \(t\), sau đó tìm toạ độ giao điểm.
‒ Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). Khi đó ta có:
\(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} }}\).
Lời giải chi tiết
a) Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là: \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 24 + t\\y = 24 + t\\z = 24 + 3,25t\end{array} \right.\)
Điểm \(M\) là giao điểm của đường thẳng \(d\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) nên điểm \(M\) nằm trên đường thẳng \(d\). Vậy điểm \(M\) có toạ độ là: \(M\left( {24 + t;24 + t;24 + 3,25t} \right)\)
Điểm \(M\) nằm trên mặt cầu nên ta có:
\({\left( {24 + t - 24} \right)^2} + {\left( {24 + t - 24} \right)^2} + {\left( {24 + 3,25t - 24} \right)^2} = 100 \Leftrightarrow \frac{{201}}{{16}}{t^2} = 100 \Leftrightarrow {t^2} = \frac{{1600}}{{201}}\).
\( \Leftrightarrow t = \frac{{40}}{{\sqrt {201} }}\) hoặc \(t = - \frac{{40}}{{\sqrt {201} }}\).
Vậy toạ độ giao điểm của đường thẳng \(d\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) là:
\(M\left( {24 + \frac{{40}}{{\sqrt {201} }};24 + \frac{{40}}{{\sqrt {201} }};24 + \frac{{130}}{{\sqrt {201} }}} \right)\) và \(N\left( {24 - \frac{{40}}{{\sqrt {201} }};24 - \frac{{40}}{{\sqrt {201} }};24 - \frac{{130}}{{\sqrt {201} }}} \right)\).
b) Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;1;3,25} \right)\).
Trục \(Oz\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\).
Ta có: \(\cos \left( {d,Oz} \right) = \frac{{\left| {1.0 + 1.0 + 3,25.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{3,25}^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} \approx 0,917\).
Vậy \(\alpha \approx {23,5^ \circ }\).