Giải bài 5 trang 60 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Người ta muốn thiết kế một quả địa cầu trong không gian $Oxyz$ bằng phần mềm 3D.

Biết phương trình mặt cầu là

$\left( S \right):{\left( {x - 24} \right)^2} + {\left( {y - 24} \right)^2} + {\left( {z - 24} \right)^2} = 100$ (đơn vị cm)

và phương trình đường thẳng trục xoay là

${\rm{d}}:\frac{{x - 24}}{1} = \frac{{y - 24}}{1} = \frac{{z - 24}}{{3,25}}$.

a) Tìm toạ độ giao điểm của $d$ và $\left( S \right)$.

b) Tính số đo góc giữa $d$ và trục $Oz$. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười của độ.

Lời giải chi tiết

a) Phương trình tham số của đường thẳng $d$ là: $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 24 + t\\y = 24 + t\\z = 24 + 3,25t\end{array} \right.$

Điểm $M$ là giao điểm của đường thẳng $d$ và mặt cầu $\left( S \right)$ nên điểm $M$ nằm trên đường thẳng $d$. Vậy điểm $M$ có toạ độ là: $M\left( {24 + t;24 + t;24 + 3,25t} \right)$

Điểm $M$ nằm trên mặt cầu nên ta có:

${\left( {24 + t - 24} \right)^2} + {\left( {24 + t - 24} \right)^2} + {\left( {24 + 3,25t - 24} \right)^2} = 100 \Leftrightarrow \frac{{201}}{{16}}{t^2} = 100 \Leftrightarrow {t^2} = \frac{{1600}}{{201}}$.

$\Leftrightarrow t = \frac{{40}}{{\sqrt {201} }}$ hoặc $t =  - \frac{{40}}{{\sqrt {201} }}$.

Vậy toạ độ giao điểm của đường thẳng $d$ và mặt cầu $\left( S \right)$ là:

$M\left( {24 + \frac{{40}}{{\sqrt {201} }};24 + \frac{{40}}{{\sqrt {201} }};24 + \frac{{130}}{{\sqrt {201} }}} \right)$ và $N\left( {24 - \frac{{40}}{{\sqrt {201} }};24 - \frac{{40}}{{\sqrt {201} }};24 - \frac{{130}}{{\sqrt {201} }}} \right)$.

b) Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( {1;1;3,25} \right)$.

Trục $Oz$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)$.

Ta có: $\cos \left( {d,Oz} \right) = \frac{{\left| {1.0 + 1.0 + 3,25.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{3,25}^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} \approx 0,917$.

Vậy $\alpha  \approx {23,5^ \circ }$.