Giải bài 5 trang 36 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} - m}}{{{\rm{x}} - 1}}$ ($m$ là tham số). Tìm $m$ để đồ thị hàm số đã cho có hai cực trị.

Lời giải chi tiết

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

Đạo hàm

$\begin{array}{l}y' = \frac{{{{\left( {{x^2} + 2{\rm{x}} - m} \right)}^\prime }\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} + 2{\rm{x}} - m} \right){{\left( {x - 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{\left( {2{\rm{x}} + 2} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} + 2{\rm{x}} - m} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2{\rm{x}} + m - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\end{array}$

Để đồ thị hàm số đã cho có hai cực trị thì phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt, tức là phương trình ${x^2} - 2{\rm{x}} + m - 2 = 0$ có hai nghiệm phân biệt khác 1.

Khi đó: $\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - \left( {m - 2} \right) > 0\\{1^2} - 2.1 + m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - m > 0\\m - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 3\\m \ne 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 3$.

Vậy với $m < 3$ thì đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị.