Giải bài 5 trang 80 SGK Toán 8 tập 1– Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình bình hành \(ABCD\) . Gọi \(I\) và \(K\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB\) và \(CD\) ; \(E\) và \(F\) lần lượt là giao điểm của \(AK\) và \(CI\) với \(BD\) .

a) Chứng minh tứ giác \(AEFI\) là hình thang

b) Chứng minh \(DE = EF = FB\)

Lời giải chi tiết

a) Vì \(ABCD\) là hình bình hành (gt) Suy ra \(AB\) // \(CD\), \(AD\) // \(BC\); \(AB = CD\); \(AD = BC\) Mà \(IA = IB = \frac{{AB}}{2}\); \(KD = KC = \frac{{CD}}{2}\) (do \(I\),\(K\) là trung điểm) Suy ra \(IA = IB = KD = KC\) Xét tứ giác \(AKCI\) có: \(AI = KC\) (cmt) \(AI\) // \(KC\) Suy ra \(AKCI\) là hình bình hành Suy ra \(IC\) // \(AK\) Hay \(IF\) // \(AE\) Suy ra \(AEFI\) là hình thang b) Vì \(ABCD\), \(AKCI\) là hình bình hành (gt) Suy ra \(O\) là trung điểm của \(AC\), \(BD\), \(KI\) Suy ra \(OD = OB = \frac{1}{2}BD\) (1) Xét tam giác \(ADC\) có hai trung tuyến \(AK\), \(DO\) cắt nhau tại \(E\) Suy ra \(E\) là trọng tâm của tam giác Suy ra \(ED = \frac{2}{3}DO\) (2) Chứng minh tương tự ta có \(BF = \frac{2}{3}BO\) (3) Từ (1), (2), (3) suy ra \(ED = BF = \frac{1}{3}BD\) Suy ra \({\rm{EF}} = \frac{1}{3}BD\) Vậy \(DE = EF = FB\)