Giải bài 5 trang 80 SGK Toán 8 tập 1– Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình bình hành $ABCD$ . Gọi $I$ và $K$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và $CD$ ; $E$ và $F$ lần lượt là giao điểm của $AK$ và $CI$ với $BD$ .

a) Chứng minh tứ giác $AEFI$ là hình thang

b) Chứng minh $DE = EF = FB$

Lời giải chi tiết

a) Vì $ABCD$ là hình bình hành (gt) Suy ra $AB$ // $CD$, $AD$ // $BC$; $AB = CD$; $AD = BC$ Mà $IA = IB = \frac{{AB}}{2}$; $KD = KC = \frac{{CD}}{2}$ (do $I$,$K$ là trung điểm) Suy ra $IA = IB = KD = KC$ Xét tứ giác $AKCI$ có: $AI = KC$ (cmt) $AI$ // $KC$ Suy ra $AKCI$ là hình bình hành Suy ra $IC$ // $AK$ Hay $IF$ // $AE$ Suy ra $AEFI$ là hình thang b) Vì $ABCD$, $AKCI$ là hình bình hành (gt) Suy ra $O$ là trung điểm của $AC$, $BD$, $KI$ Suy ra $OD = OB = \frac{1}{2}BD$ (1) Xét tam giác $ADC$ có hai trung tuyến $AK$, $DO$ cắt nhau tại $E$ Suy ra $E$ là trọng tâm của tam giác Suy ra $ED = \frac{2}{3}DO$ (2) Chứng minh tương tự ta có $BF = \frac{2}{3}BO$ (3) Từ (1), (2), (3) suy ra $ED = BF = \frac{1}{3}BD$ Suy ra ${\rm{EF}} = \frac{1}{3}BD$ Vậy $DE = EF = FB$