Giải bài 75 trang 107 SBT toán 10 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Cho ba điểm phân biệt I , A , B và số thực k ≠ 1 thoả mãn $\overrightarrow {IA}  = k\overrightarrow {IB}$. Chứng minh rằng với O là điểm bất kì ta có:

$\overrightarrow {OI}  = \left( {\frac{1}{{1 - k}}} \right)\overrightarrow {OA}  - \left( {\frac{k}{{1 - k}}} \right)\overrightarrow {OB}$ (*)

Lời giải chi tiết

Theo giả thiết, $\overrightarrow {IA}  = k\overrightarrow {IB}$

Xét vế phải (*) ta có:

VT = $\left( {\frac{1}{{1 - k}}} \right)\overrightarrow {OA}  - \left( {\frac{k}{{1 - k}}} \right)\overrightarrow {OB}  = \left( {\frac{1}{{1 - k}}} \right)\left( {\overrightarrow {OI}  + \overrightarrow {IA} } \right) - \left( {\frac{k}{{1 - k}}} \right)\left( {\overrightarrow {OI}  + \overrightarrow {IB} } \right)$

$= \left( {\frac{1}{{1 - k}}} \right)\overrightarrow {OI}  + \left( {\frac{1}{{1 - k}}} \right)\overrightarrow {IA}  - \left( {\frac{k}{{1 - k}}} \right)\overrightarrow {OI}  - \left( {\frac{k}{{1 - k}}} \right)\overrightarrow {IB}$ $= \left( {\frac{1}{{1 - k}} - \frac{k}{{1 - k}}} \right)\overrightarrow {OI}  + \left( {\frac{1}{{1 - k}}} \right).k\overrightarrow {IB}  - \left( {\frac{k}{{1 - k}}} \right)\overrightarrow {IB}$

$= \overrightarrow {OI}  + \left( {\frac{1}{{1 - k}}} \right).k\overrightarrow {IB}  - \left( {\frac{k}{{1 - k}}} \right)\overrightarrow {IB}  = \overrightarrow {OI}  + \left( {\frac{k}{{1 - k}} - \frac{k}{{1 - k}}} \right)\overrightarrow {IB}$ $= \overrightarrow {OI}$ (ĐPCM)