Giải bài tập 2. 28 trang 73 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng a, gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CD. Tích vô hướng $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AM}$ bằng A. $\frac{{{a^2}}}{4}$. B. $\frac{{{a^2}}}{2}$. C. $\frac{{{a^2}}}{3}$. D. ${a^2}$.

Lời giải chi tiết

Tam giác ACD có ba cạnh bằng a nên tam giác ACD đều, AM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao nên $AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Tam giác CBD có ba cạnh bằng a nên tam giác CBD đều, BM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao nên $BM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Áp dụng định côsin vào tam giác ABM ta có:

$\cos \widehat {BAM} = \frac{{A{M^2} + A{B^2} - M{B^2}}}{{2AB.MB}} = \frac{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}{{2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AM}  = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AM} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AM} } \right) = a.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{3} = \frac{{{a^2}}}{2}$

Chọn B