Giải bài tập 2. 38 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A\left( {2; - 1;3} \right),B\left( {1;1; - 1} \right)$ và $C\left( { - 1;0;2} \right)$. a) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. b) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oz sao cho đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC.

Lời giải chi tiết

a) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{2 + 1 - 1}}{3} = \frac{2}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{ - 1 + 1 + 0}}{3} = 0\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} = \frac{{3 - 1 + 2}}{3} = \frac{4}{3}\end{array} \right.$

Vậy tọa độ trọng tâm G là: G$\left( {\frac{2}{3};0;\frac{4}{3}} \right)$.

b) Vì M thuộc trục Oz nên M(0; 0; z).

Ta có: $\overrightarrow {BM} \left( { - 1; - 1;z + 1} \right),\overrightarrow {AC} \left( { - 3;1; - 1} \right)$

Vì đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC nên

$\overrightarrow {BM} .\overrightarrow {AC}  = 0 \Leftrightarrow \left( { - 1} \right).\left( { - 3} \right) + \left( { - 1} \right).1 + \left( {z + 1} \right)\left( { - 1} \right) = 0$

$\Leftrightarrow 2 - z - 1 = 0 \Leftrightarrow z = 1$.

Vậy M(0; 0; 1) thì đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC.