Giải bài tập 3 trang 90 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Tổng số các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{x}$ là A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Đề bài

Tổng số các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{x}$ là

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về khái niệm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số để tìm tiệm cận ngang: Đường thẳng $y = {y_0}$ gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {y_0}$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = {y_0}$

Sử dụng kiến thức về khái niệm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số để tìm tiệm cận đứng: Đường thẳng $x = {x_0}$ gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = + \infty$ ; $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = - \infty$ ; $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = - \infty$ ; $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = + \infty$

Lời giải chi tiết

TXĐ: $D = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)$ .

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left| x \right|\sqrt {1 - \frac{1}{x}} }}{x} = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\left| x \right|\sqrt {1 - \frac{1}{x}} }}{x} = - 1$

Do đó, đồ thị hàm số $y = \frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{x}$ có hai đường tiệm cận ngang là $y = 1;y = - 1$ .

Chọn C