Giải bài tập 2.41 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(4;2;−1),B(1;−1;2) và C(0;−2;3). a) Tìm tọa độ của vectơ →AB và tính độ dài đoạn thẳng AB. b) Tìm tọa độ điểm M sao cho →AB+→CM=→0. c) Tìm tọa độ điểm N thuộc mặt phẳng (Oxy), sao cho A, B, N thẳng hàng.
Đề bài
Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(4;2;−1),B(1;−1;2) và C(0;−2;3). a) Tìm tọa độ của vectơ →AB và tính độ dài đoạn thẳng AB. b) Tìm tọa độ điểm M sao cho →AB+→CM=→0. c) Tìm tọa độ điểm N thuộc mặt phẳng (Oxy), sao cho A, B, N thẳng hàng.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng kiến thức về thiết lập tọa độ của vectơ theo tọa độ hai đầu mút để tìm tọa độ: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(xM,yM,zM) và N(xN;yN;zN).
Khi đó, →MN=(xN−xM;yN−yM;zN−zM).
b) Sử dụng kiến thức về tọa độ của vectơ trong không gian để tìm tọa độ điểm M: Trong không gian, cho hai vectơ →a=(x;y;z) và →b=(x′;y′;z′). Khi đó, →a=→b nếu và chỉ nếu {x=x′y=y′z=z′.
c) Sử dụng kiến thức về hai vectơ cùng phương để chứng minh ba điểm thẳng hàng: Nếu →MN=k→MP (k là số thực) thì →MN,→MP cùng phương và ba điểm M, N, P thẳng hàng.
Lời giải chi tiết
a) →AB=(1−4;−1−2;2+1)=(−3;−3;3)⇒|→AB|=√(−3)2+(−3)2+32=3√3
b) Gọi M (x; y; z) thì →MC=(−x;−2−y,3−z).
Vì →AB+→CM=→0⇒→AB=→MC⇒{−x=−3−2−y=−33−z=3⇔{x=3y=1z=0. Do đó, M(3; 1; 0).
c) Vì N thuộc mặt phẳng (Oxy) nên tọa độ điểm N là N(x; y; 0)
Ta có: →AN(x−4;y−2;1);→BN(x−1;y+1;−2)
Để A, B, N thẳng hàng thì hai vectơ →AN,→BN cùng phương. Do đó, →AN=k→BN (với k là số thực bất kì)
Suy ra, {x−4=k(x−1)y−2=k(y+1)1=−2k⇒{x−4=−12(x−1)y−2=−12(y+1)k=−12⇒{x=3y=1. Vậy N(3; 1)