Giải bài tập 2. 36 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Cho tứ diện ABCD, lấy hai điểm M, N thỏa mãn $\overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MA}  = \overrightarrow 0$ và $\overrightarrow {NC}  = 2\overrightarrow {DN}$. Hãy biểu diễn $\overrightarrow {MN}$ theo $\overrightarrow {AD}$ và $\overrightarrow {BC}$.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MA}  = \overrightarrow 0  \Rightarrow \overrightarrow {MB}  =  - 2\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {NC}  = 2\overrightarrow {DN}  \Rightarrow \overrightarrow {CN}  =  - 2\overrightarrow {DN}$

Ta có: $\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DN}$ (1)

$\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CN}  =  - 2\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {BC}  - 2\overrightarrow {DN}$ (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có:

$2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DN}  - 2\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {BC}  - 2\overrightarrow {DN}  =  - \overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {DN}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD}$

$= \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD}  = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AD} } \right) + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {BC}  + \frac{4}{3}\overrightarrow {AD}$

$\overrightarrow {MN}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD}$