Giải đề thi học kì 2 toán lớp 9 năm 2019 - 2020 PGD quận Ba Đình — Không quảng cáo

Đề bài

Bài 1  (2,0 điểm): Cho hai biểu thức:

$A = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} + \dfrac{3}{{\sqrt x  + 2}} + \dfrac{{5\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {3 - \sqrt x } \right)}}$  và  $B = \dfrac{{\sqrt x  + 5}}{{\sqrt x  + 2}}$  với $x \ge 0;x \ne 9$.

1. Tính giá trị của $B$ khi $x = 4.$

2. Rút gọn biểu thức $A$

3. Cho $S = A:B$, so sánh $S$ với $\dfrac{3}{5}$.

Bài 2 (2,5 điểm):

1. Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Một công nhân phải may 120 chiếc khẩu trang vải trong 1 thời gian quy định. Khi thực hiện, nhờ cải tiến kỹ thuật nên mỗi giờ người đó may thêm được 3 chiếc khẩu trang và hoàn thành kế hoạch sớm hơn 2 giờ. Tính số khẩu trang công nhân phải may trong 1 giờ theo quy định?

2. Người ta làm các viên đá hình cầu có bán kính là 2cm. Cho 6 viên đá như vậy vào một cốc thủy tinh hình trụ rồi rót nước giải khát vào cho đầy cốc. Biết rằng cột nước hình trụ ở cốc có bán kính đáy là 3cm và chiều cao cột nước là 12cm. Tính thể tích nước giải khát rót vào cốc? (Lấy $\pi  \approx 3,14$, kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Bài 3 (2,0 điểm):

1. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 1}  - 2y = 9\\3\sqrt {x - 1}  + y = 6\end{array} \right.$ .

2. Cho phương trình ${x^2} - \left( {m + 2} \right)x + m = 0$

a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi $m.$

b) Tìm $m$ để phương trình có 2 nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}$ thỏa mãn $x_1^2 + x_2^2 = 7$

Bài 4 (3 điểm):

Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O, vẽ các tiếp tuyến MA và MB với đường tròn $\left( O \right),A$ và $B$ là hai tiếp điểm; vẽ cát tuyến MCD đến đường tròn (O) sao cho tia MC nằm giữa hai tia MA và MO (biết điểm C nằm giữa hai điểm M và D).

1. Chứng minh: tứ giác MAOB nội tiếp được

2. Chứng minh: $M{A^2} = MC.MD$

3. Vẽ dây BI của đường tròn (O) sao cho BI song song với MD, AI cắt CD tại H, kéo dài AB cắt OH tại K. Chứng minh H là trung điểm của CD và KD là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Bài 5 (0,5 điểm):

Giải phương trình: $\sqrt {2x - 5}  + 2\sqrt {7 - x}$ $= \sqrt 3 {x^2} - 8\sqrt 3 x + 19\sqrt 3$

HẾT

LG bài 1

Phương pháp giải:

1) Thay $x = 4$ vào biểu thức $B$ rồi tính toán

2) Qui đồng mẫu các phân thức rồi rút gọn với mẫu thức chung là $\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)$

3) Rút gọn $S = A:B$ sau đó so sánh hiệu $P - \dfrac{3}{5}$ với số $0.$

Lời giải chi tiết:

Cho hai biểu thức:

$A = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} + \dfrac{3}{{\sqrt x  + 2}} + \dfrac{{5\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {3 - \sqrt x } \right)}}$ và $B = \dfrac{{\sqrt x  + 5}}{{\sqrt x  + 2}}$ với $x \ge 0;x \ne 9$ .

1. Tính giá trị của $B$ khi $x = 4.$

Thay $x = 4$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $B$ ta được:

$B = \dfrac{{\sqrt 4  + 5}}{{\sqrt 4  + 2}}$ $= \dfrac{{2 + 5}}{{2 + 2}} = \dfrac{7}{4}$

Vậy với $x = 4$ thì $B = \dfrac{7}{4}$.

2. Rút gọn biểu thức $A$

Với $x \ge 0;x \ne 9$ ta có:

$A = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} + \dfrac{3}{{\sqrt x  + 2}} + \dfrac{{5\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {3 - \sqrt x } \right)}}$

$= \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} + \dfrac{3}{{\sqrt x  + 2}} - \dfrac{{5\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}$

$= \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} + \dfrac{{3\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}$ $- \dfrac{{5\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}$

$\begin{array}{l} = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right) + 3\left( {\sqrt x  - 3} \right) - 5\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\\ = \dfrac{{x + 2\sqrt x  + 3\sqrt x  - 9 - 5\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\\ = \dfrac{{x - 9}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\\ = \dfrac{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\\ = \dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  + 2}}\end{array}$

Vậy $A = \dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  + 2}}$ với $x \ge 0;x \ne 9.$

3. Cho $S = A:B$ , so sánh $S$ với $\dfrac{3}{5}$ .

Với $x \ge 0;x \ne 9$ ta có:

$S = A:B$ $= \dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  + 2}}:\dfrac{{\sqrt x  + 5}}{{\sqrt x  + 2}}$ $= \dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  + 2}}.\dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 5}}$ $= \dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  + 5}}$

Xét hiệu $S - \dfrac{3}{5} = \dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  + 5}} - \dfrac{3}{5}$

$\begin{array}{l} = \dfrac{{5\left( {\sqrt x  + 3} \right) - 3\left( {\sqrt x  + 5} \right)}}{{5\left( {\sqrt x  + 5} \right)}}\\ = \dfrac{{5\sqrt x  + 15 - 3\sqrt x  - 15}}{{5\left( {\sqrt x  + 5} \right)}}\\ = \dfrac{{2\sqrt x }}{{5\left( {\sqrt x  + 5} \right)}}\end{array}$

Với $x \ge 0,x \ne 9$ ta có $2\sqrt x  \ge 0$ và $5\left( {\sqrt x  + 5} \right) > 0$ nên $\dfrac{{2\sqrt x }}{{5\left( {\sqrt x  + 5} \right)}} \ge 0$

Hay $S - \dfrac{3}{5} \ge 0 \Leftrightarrow S \ge \dfrac{3}{5}.$

Vậy $S \ge \dfrac{3}{5}$ với $x \ge 0;x \ne 9.$

LG bài 2

Phương pháp giải:

1) Gọi số khẩu trang công nhân phải may trong 1 giờ theo quy định là $x\left( {x > 0} \right)$

Lập phương trình theo ẩn $x$ rồi giải phương trình thu được.

2) Thể tích khối cầu bán kính $R$ là $V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}$

Thể tích khối trụ có bán kính đáy $r$ và chiều cao $h$ là $v = \pi {r^2}h$

Lời giải chi tiết:

1. Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Một công nhân phải may 120 chiếc khẩu trang vải trong 1 thời gian quy định. Khi thực hiện, nhờ cải tiến kỹ thuật nên mỗi giờ người đó may thêm được 3 chiếc khẩu trang và hoàn thành kế hoạch sớm hơn 2 giờ. Tính số khẩu trang công nhân phải may trong 1 giờ theo quy định?

Gọi số khẩu trang công nhân phải may trong 1 giờ theo quy định là $x\left( {x > 0} \right)$(chiếc)

Thời gian công nhân may 120 chiếc khẩu trang theo quy định là $\dfrac{{120}}{x}$ giờ

Theo thực tế, mỗi giờ công nhân may được số khẩu trang là $x + 3$ chiếc

Thời gian công nhân may 120 chiếc khẩu trang theo thực tế là $\dfrac{{120}}{{x + 3}}$ giờ

Vì công nhân hoành thành kế hoạch sớm hơn 2 giờ nên ta có phương trình:

$\dfrac{{120}}{x} - \dfrac{{120}}{{x + 3}} = 2$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{120\left( {x + 3} \right) - 120x}}{{x\left( {x + 3} \right)}} = 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{{120x + 360 - 120x}}{{x\left( {x + 3} \right)}} = 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{{360}}{{{x^2} + 3x}} = 2\\ \Rightarrow 360 = 2{x^2} + 6x\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 6x - 360 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 180 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 12x + 15x - 180 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 12} \right) + 15\left( {x - 12} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 12} \right)\left( {x + 15} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 12 = 0\\x + 15 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 12\left( {tm} \right)\\x =  - 15\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy số khẩu trang công nhân phải may trong 1 giờ theo quy định là $12$ chiếc.

2. Người ta làm các viên đá hình cầu có bán kính là 2cm. Cho 6 viên đá như vậy vào một cốc thủy tinh hình trụ rồi rót nước giải khát vào cho đầy cốc. Biết rằng cột nước hình trụ ở cốc có bán kính đáy là 3cm và chiều cao cột nước là 12cm. Tính thể tích nước giải khát rót vào cốc? (Lấy $\pi  \approx 3,14$ , kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Thể tích cốc nước hình trụ có bán kính đáy $3cm$ và chiều cao $12cm$ là ${V_1} = \pi {.3^2}.12 = 108\pi \left( {c{m^3}} \right)$

Thể tích 6 viên đá hình cầu bán kính 2cm là ${V_2} = 6.\dfrac{4}{3}\pi {.2^3} = 64\pi \left( {c{m^3}} \right)$

Thể tích nước giải khát rót vào cốc là $V = {V_1} - {V_2}$$= 108\pi  - 64\pi$ $= 44\pi  \approx 138,16\left( {c{m^3}} \right)$

LG bài 3

Phương pháp giải:

1) Giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ và dùng phương pháp cộng đại số

2) a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta  > 0\end{array} \right.$

b) Sử dụng hệ thức Vi-et: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết:

1. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 1}  - 2y = 9\\3\sqrt {x - 1}  + y = 6\end{array} \right.$

Điều kiện: $x \ge 1$

Đặt $\sqrt {x - 1}  = u\left( {u \ge 0} \right)$, ta có hệ phương trình:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u - 2y = 9\\3u + y = 6\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u - 2y = 9\\6u + 2y = 12\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u - 2y = 9\\7u = 21\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 3\\3 - 2y = 9\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 3\\ - 2y = 6\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 3\left( {tm} \right)\\y =  - 3\end{array} \right.\end{array}$

Với $u = 3$ ta có $\sqrt {x - 1}  = 3$ $\Leftrightarrow x - 1 = 9$$\Leftrightarrow x = 10$ (thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( {10; - 3} \right)$

2. Cho phương trình ${x^2} - \left( {m + 2} \right)x + m = 0$

a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi $m.$

Phương trình ${x^2} - \left( {m + 2} \right)x + m = 0$ là phương trình bậc hai có:

$\Delta  = {\left( {m + 2} \right)^2} - 4m$ $= {m^2} + 4m + 4 - 4m$ $= {m^2} + 4$

Vì ${m^2} \ge 0$ với mọi $m$ nên ${m^2} + 4 \ge 4 > 0$ với mọi $m$.

Suy ra phương trình ${x^2} - \left( {m + 2} \right)x + m = 0$ luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi $m.$

b) Tìm $m$ để phương trình có 2 nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}$ thỏa mãn $x_1^2 + x_2^2 = 7$

Từ câu a) ta có phương trình ${x^2} - \left( {m + 2} \right)x + m = 0$ luôn có 2 nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}$ với mọi $m.$

Theo hệ thức Vi-et ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 2\\{x_1}.{x_2} = m\end{array} \right.$

Ta có: $x_1^2 + x_2^2 = 7$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_2}{x_2} = 7\\ \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} - 2m = 7\\ \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 4 - 2m - 7 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - m + 3m - 3 = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {m - 1} \right) + 3\left( {m - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 1 = 0\\m + 3 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - 3\end{array} \right.\end{array}$

Vậy $m = 1;m =  - 3$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

LG bài 4

Phương pháp giải:

1) Chứng minh bốn điểm M, A, O, B cùng thuộc đường tròn đường kính OM.

2) Chứng minh hai tam giác MCA và MAD đồng dạng theo trường hợp góc – góc.

3) +) Chứng minh bốn điểm M, A, H, B cùng thuộc một đường tròn.

Từ đó suy ra H thuộc đường tròn đường kính OM và $\widehat {OHM} = {90^0}$.

+) Chứng minh hai tam giác OHM và OFK đồng dạng với F là giao điểm của OM và AB.

Chứng minh OH.OK=OF.OM=$O{D^2}$

Từ đó suy ra hai tam giác OHD và ODK đồng dạng.

Lời giải chi tiết:

Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O, vẽ các tiếp tuyến MA và MB với đường tròn $\left( O \right),A$ và $B$ là hai tiếp điểm; vẽ cát tuyến MCD đến đường tròn (O) sao cho tia MC nằm giữa hai tia MA và MO (biết điểm C nằm giữa hai điểm M và D).

1. Chứng minh: tứ giác MAOB nội tiếp được

Ta có:

MA là tiếp tuyến với đường tròn nên $MA \bot OA \Rightarrow \widehat {MAO} = {90^0}$ (tính chất)

MB là tiếp tuyến với đường tròn nên $MB \bot OB \Rightarrow \widehat {MBO} = {90^0}$ (tính chất)

Gọi E là trung điểm của OM thì:

$AE = EM = EO = \dfrac{1}{2}OM$ (do tam giác MAO vuông tại A)

$BE = EM = EO = \dfrac{1}{2}OM$ (do tam giác MBO vuông tại B)

Do đó $EA = EM = EO = EB$ hay 4 điểm $A,M,O,B$ cùng thuộc đường tròn đường kính OM

Vậy tứ giác MAOB nội tiếp (đpcm).

2. Chứng minh: $M{A^2} = MC.MD$

Xét tam giác $MAC$ và $MDA$ có:

$\widehat {MAC} = \widehat {MDA}$ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung $AC$)

$\widehat M$ chung

$\Rightarrow \Delta MAC \backsim \Delta MDA\left( {g - g} \right)$

$\Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MD}} = \dfrac{{MC}}{{MA}}$ (cạnh tương ứng)

$\Rightarrow M{A^2} = MC.MD$ (đpcm)

3. Vẽ dây BI của đường tròn (O) sao cho BI song song với MD, AI cắt CD tại H, kéo dài AB cắt OH tại K. Chứng minh H là trung điểm của CD và KD là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Ta có: $BI//CD$ nên $\widehat {AHC} = \widehat {AIB}$ (đồng vị)

Mà $\widehat {AIB} = \widehat {ABM}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AB)

Nên $\widehat {AHC} = \widehat {AHM} = \widehat {ABM}$ $\left( { = \widehat {AIB}} \right)$

Do đó tứ giác AHBM nội tiếp (hai đỉnh kề một cạnh nhìn cạnh đối diện các góc bằng nhau)

$\Rightarrow A,H,B,M$ cùng thuộc một đường tròn.

Mà $A,O,B,M$ cùng thuộc đường tròn đường kính OM (cmt) nên H cùng nằm trên đường tròn đường kính OM.

Do đó $\widehat {MHO} = {90^0}$ hay $OH \bot CD$

$\Rightarrow H$ là trung điểm của CD (đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây ấy) (đpcm).

Gọi F là giao điểm của OM và AB.

Khi đó $\widehat {OFA} = \widehat {OFK} = {90^0}$.

Xét $\Delta OFK$ và $\Delta OHM$ có:

$\widehat {OFK} = \widehat {OHM} = {90^0}$

Chung $\widehat O$

$\Rightarrow \Delta OFK \backsim \Delta OHM\left( {g - g} \right)$

$\Rightarrow \dfrac{{OF}}{{OH}} = \dfrac{{OK}}{{OM}}$ (cạnh tương ứng)

$\Rightarrow OF.OM = OH.OK$ (1)

Tam giác OAM vuông tại A có AF là đường cao nên:

$OF.OM = O{A^2}$ (hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $OF.OM = OH.OK = O{A^2} = O{D^2}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow OH.OK = O{D^2}\\ \Rightarrow \dfrac{{OH}}{{OD}} = \dfrac{{OD}}{{OK}}\end{array}$

Xét $\Delta OHD$ và $\Delta ODK$ có:

Chung $\widehat O$

$\dfrac{{OH}}{{OD}} = \dfrac{{OD}}{{OK}}\,\,\left( {cmt} \right)$

$\Rightarrow \Delta OHD \backsim \Delta ODK\left( {c - g - c} \right)$

$\Rightarrow \widehat {OHD} = \widehat {ODK} = {90^0}$ (góc tương ứng)

Mà $\widehat {OHD} = {90^0}$ nên $\widehat {ODK} = {90^0} \Rightarrow OD \bot OK$

Vậy KD là tiếp tuyến với đường tròn tại D (đpcm).

LG bài 5

Phương pháp giải:

Đánh giá $VT \le 3\sqrt 3$ bằng cách áp dụng BĐT Bunhia ${\left( {ax + by} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)$.

Đánh giá $VP \ge 3\sqrt 3$ bằng cách đưa về dạng $a{\left( {x + {x_0}} \right)^2} + b$.

Từ đó suy ra nghiệm của phương trình đã cho.

Lời giải chi tiết:

Giải phương trình: $\sqrt {2x - 5}  + 2\sqrt {7 - x}$ $= \sqrt 3 {x^2} - 8\sqrt 3 x + 19\sqrt 3$

ĐK: $\left\{ \begin{array}{l}2x - 5 \ge 0\\7 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \dfrac{5}{2}\\x \le 7\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \dfrac{5}{2} \le x \le 7$

Áp dụng BĐT Bunhia ta có:

$\begin{array}{l}V{T^2} = {\left( {\sqrt {2x - 5}  + 2\sqrt {7 - x} } \right)^2}\\ = {\left( {1.\sqrt {2x - 5}  + \sqrt 2 .\sqrt {14 - 2x} } \right)^2}\\ \le \left[ {{1^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} \right]\left[ {{{\left( {\sqrt {2x - 5} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {14 - 2x} } \right)}^2}} \right]\\ = \left( {1 + 2} \right)\left( {2x - 5 + 14 - 2x} \right)\\ = 3.9 = 27\\ \Rightarrow V{T^2} \le 27\\ \Rightarrow VT \le 3\sqrt 3 \end{array}$

Lại có,

$\begin{array}{l}VP = \sqrt 3 {x^2} - 8\sqrt 3 x + 19\sqrt 3 \\ = \sqrt 3 \left( {{x^2} - 8x + 16} \right) + 3\sqrt 3 \\ = \sqrt 3 {\left( {x - 4} \right)^2} + 3\sqrt 3 \\ \ge \sqrt 3 .0 + 3\sqrt 3 \\ = 3\sqrt 3 \\ \Rightarrow VP \ge \sqrt 3 \end{array}$

Do đó $VT \le 3\sqrt 3  \le VP$.

Dấu “=” xảy ra khi $VT = 3\sqrt 3  = VP$

$\Leftrightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 4$.

HẾT