Bài 13 trang 106 SGK Toán 9 tập 1
Cho đường tròn (O) có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn.
Đề bài
Cho đường tròn (O) có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:
a) EH=EK
b) EA=EC.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng các tính chất sau: Trong một đường tròn
+) Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.
+) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
b) Quy tắc cộng đoạn thẳng: Nếu I nằm giữa A và B thì IA + IB = AB.
Lời giải chi tiết
a) Nối OE.
Vì HA=HB nên OH⊥AB (đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó)
Vì KC=KD nên OK⊥CD. (đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó)
Mà AB=CD nên OH=OK (hai dây bằng nhau thì cách đều tâm).
Xét ΔHOE và ΔKOE có:
OH=OK
EO chung
^EHO=^EKO=900
⇒ ΔHOE=ΔKOE (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
⇒ EH=EK(1) ( 2 cạnh tương ứng)
b) Vì AB=CD nên AB2=CD2 hay AH=KC (2)
Từ (1) và (2) ⇒ EH+HA=EK+KC
hay EA=EC.