Bài 26 trang 108 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Toán 11, giải toán lớp 11 kết nối tri thức với cuộc sống Bài tập cuối năm Toán 11 Kết nối tri thức


Bài 26 trang 108 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Tìm các giá trị của tham số (m) để:

Đề bài

Tìm các giá trị của tham số \(m\) để:

a) Hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{x + 1}}}&{{\rm{ khi }}x \ne  - 1}\\{{m^2}}&{{\rm{ khi }}x =  - 1}\end{array}} \right.\)  liên tục tại điểm \(x =  - 1\);

b) Hàm số \(g(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x \le 1}&{\rm{ }}\\{\frac{{{x^3} - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}{\rm{ }}\,{\rm{khi }}x > 1}&{}\end{array}} \right.\)liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục tại \({x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \left( {x + 3} \right) = 2\\f\left( { - 1} \right) = {m^2}\end{array}\)

Để hàm số liên tục tại x = – 1 \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) \Leftrightarrow {m^2} = 2 \Leftrightarrow m =  \pm \sqrt 2 \)

Vậy \(m \in \left\{ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right\}\) thì hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \(x =  - 1\).

b)

  • Với \(x\; \in \;\left( {--\infty ;1} \right)\) có \(g\left( x \right) = 2x + m\) liên tục với mọi \(x\; \in \;\left( {--\infty ;1} \right)\)
  • Với \(x\; \in \;\left( {1; + \infty } \right)\) có \(g\left( x \right) = \frac{{{x^3} - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}\) liên tục với mọi \(x\; \in \;\left( {1; + \infty } \right)\)
  • Tại x = 1 có

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^3} - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 2} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} + 2} \right) = 3\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {2x + m} \right) = 2 + m\\g\left( 1 \right) = 2 + m\end{array}\)

Do đó để hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x = 1

\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} g\left( x \right) = g\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2 + m = 3 \Leftrightarrow m = 1\)

Vậy m = 1 thì hàm số \(g\left( x \right)\) liên trục trên \(\mathbb{R}\)


Cùng chủ đề:

Bài 21 trang 107 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Bài 22 trang 107 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Bài 23 trang 107 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Bài 24 trang 107 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Bài 25 trang 108 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Bài 26 trang 108 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Bài 27 trang 108 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Bài 28 trang 108 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Bài 29 trang 108 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Bài 30 trang 108 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Bài 31 trang 109 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức