Bài 5 trang 11 SGK Toán 9 tập 2 — Không quảng cáo

Đề bài

Đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình sau bằng hình học:

a) $\left\{ \matrix{2{\rm{x}} - y = 1 \hfill \cr x - 2y = - 1 \hfill \cr} \right.$;           b) $\left\{ \matrix{2{\rm{x + }}y = 4 \hfill \cr - x + y = 1 \hfill \cr} \right.$

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

$\left\{ \matrix{ 2x - y = 1 \hfill \cr x - 2y = - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ y = 2x - 1 \  (d)\hfill \cr y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2} \ (d')  \hfill \cr} \right.$

+) Vẽ $(d)$: $y=2x-1$

Cho $x = 0 \Rightarrow y = -1$, ta được $A(0; -1)$.

Cho $y = 0 \Rightarrow  x = \dfrac{1}{2}$, ta được $B{\left(\dfrac{1}{2}; 0 \right)}$.

Đường thẳng (d) là đường thẳng đi qua hai điểm $A,\ B$.

+) Vẽ $(d')$: $y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}$

Cho $x = 0 \Rightarrow y = \dfrac{1}{2}$, ta được $C {\left(0; \dfrac{1}{2} \right)}$.

Cho $y = 0 \Rightarrow x = -1$, ta được $D = (-1; 0)$.

Đường thẳng (d') là đường thẳng đi qua hai điểm $C,\ D$.

+) Quan sát hình vẽ, ta thấy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm có tọa độ $M( 1, 1)$.

Thay $x = 1, y = 1$ vào các phương trình của hệ ta được:

$\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 1\\x - 2y =  - 1\end{array} \right.$

$\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l}2.1 - 1 = 1\\1 - 2.1 =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 = 1\\ - 1 =  - 1\end{array} \right.$  (luôn đúng)

Vậy hệ phương trình có một nghiệm $(x; y) = (1; 1)$.

b) Ta có:

$\left\{ \matrix{ 2x + y = 4 \hfill \cr - x + y = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ y = - 2x + 4 \ (d) \hfill \cr y = x + 1 \ (d') \hfill \cr} \right.$

+) Vẽ $(d)$: $y=-2x+4$

Cho $x = 0 \Rightarrow y = 4$, ta được $A(0; 4)$.

Cho $y = 0 \Rightarrow x = 2$, ta được $B(2; 0)$.

Đường thẳng (d) là đường thẳng đi qua hai điểm $A,\ B$.

Vẽ $(d')$: $y=x+1$

Cho $x = 0 \Rightarrow y = 1$, ta được $C(0; 1)$.

Cho $y = 0 \Rightarrow x = -1$, ta được $D(-1; 0)$.

Đường thẳng (d') là đường thẳng đi qua hai điểm $C,\ D$.

Quan sát hình vẽ, ta thấy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm có tọa độ $N(1;2)$.

Thay $x = 1, y = 2$ vào các phương trình của hệ ta được:

$\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 4\\ - x + y = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2.1 + 2 = 4\\ - 1 + 2 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 = 4\\1 = 1\end{array} \right.$  (luôn đúng)

Vậy hệ phương trình có một nghiệm $(x; y) = (1; 2)$.