Bài 59 trang 63 SGK Toán 9 tập 2 — Không quảng cáo

Giải các phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:

LG a

$2{\left( {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right)^2} + 3\left( {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right) + 1 = 0$

Phương pháp giải:

Đặt ${x^2} - 2x = t$ để đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai ẩn $t.$

Lời giải chi tiết:

Đặt ${x^2} - 2x = t$, ta thu được phương trình $2{t^2} + 3t + 1 = 0$

Phương trình trên có $a - b + c = 2 - 3 + 1 = 0$ nên có hai nghiệm $t =  - 1;t =  - \dfrac{1}{2}.$

+ Với $t =  - 1 \Rightarrow {x^2} - 2x =  - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1$

+ Với $t =  - \dfrac{1}{2} \Rightarrow {x^2} - 2x =  - \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = \dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\x - 1 =  - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{2}\\x = \dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.$

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm $x = 1;x = \dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{2};x = \dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{2}$

LG b

${\left( {x + {1 \over x}} \right)^2} - 4\left( {x + {1 \over x}} \right) + 3 = 0$

Phương pháp giải:

Đặt $x + \dfrac{1}{x} = t$ để đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai ẩn $t.$

Lời giải chi tiết:

ĐK: $x \ne 0.$

Đặt $x + \dfrac{1}{x} = t$, ta thu được phương trình ${t^2} - 4t + 3 = 0$

Phương trình trên có $a + b + c = 1 + \left( { - 4} \right) + 3 = 0$ nên có hai nghiệm $t = 1;t = 3.$

+ Với $t = 1 \Rightarrow x + \dfrac{1}{x} = 1 \Rightarrow {x^2} - x + 1 = 0$ .

Xét $\Delta  = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.1 =  - 3 < 0$ nên phương trình vô nghiệm.

+ Với $t = 3 \Rightarrow x + \dfrac{1}{x} = 3\\ \Rightarrow {x^2} - 3x + 1 = 0\, (*)$

Phương trình (*) có $\Delta  = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.1 = 5 > 0$ nên có hai nghiệm $\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\\x = \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.$ (thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x = \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2};x = \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}$ .