Bài 59 trang 90 SGK Toán 9 tập 2 — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình bình hành $ABCD.$ Đường tròn đi qua ba đỉnh $A, \, B, \, C$ cắt đường thẳng $CD$ tại $P$ khác $C.$ Chứng minh $AP = AD.$

Lời giải chi tiết

Cách 1:

Do tứ giác $ABCP$ nội tiếp nên $\widehat{BAP} + \widehat{BCP} = 180^0.$        (1)

Mà CD // AB nên $\widehat{ABC}+ \widehat{BCP}=  180^0$ (hai góc trong cùng phía).      (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ $\widehat{BAP}= \widehat{ABC}.$

Mà CP // AB (do CD // AB) nên $ABCP$ là hình thang

Nên $ABCP$ là hình thang cân (Dấu hiệu nhận biết)

$\Rightarrow$ $AP = BC.$ (Tính chất hình thang cân) (3)

Mà $BC = AD$ (do ABCD là hình bình hành)  (4)

Từ (3) và (4) $\Rightarrow$ $AP = AD$ (đpcm).

Cách 2:

Vì ABCP là tứ giác nội tiếp nên $\widehat{ABC}+ \widehat{APC}= 180^0$

Mà ABCD là hình bình hành nên $\widehat {ABC} = \widehat {ADC}$ (Tính chất hình bình hành)

Hơn nữa, $\widehat {APC} + \widehat {APD} = {180^0}$  (2 góc kề bù)

$\Rightarrow \widehat {APD} = \widehat {ADC}$

$\Rightarrow$ Tam giác ADP cân tại A

$\Rightarrow$ AP = AD (đpcm)