Câu 23 trang 67 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Đề bài

Tính hệ số của \({x^{25}}{y^{10}}\) trong khai triển của  \({\left( {{x^3} + xy} \right)^{15}}\)

Lời giải chi tiết

Ta có:

\({\left( {{x^3} + xy} \right)^{15}} = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k{{\left( {{x^3}} \right)}^{15 - k}}{{\left( {xy} \right)}^k}} \)

\( = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k.{x^{45 - 3k}}{x^k}{y^k}}\) \(  = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k.{x^{45 - 2k}}{y^k}} \)

Số hạng chứa \({x^{25}}{y^{10}}\) thì:

\(\left\{ \begin{array}{l} 45 - 2k = 25\\ k = 10 \end{array} \right. \Leftrightarrow k = 10\)

Do đó k = 10 nên số hạng đó là : \(C_{15}^{10}{x^{25}}{y^{10}}\)

Vậy hệ số của  \({x^{25}}{y^{10}}\,la\,C_{15}^{10} = 3003\)