Đề kiểm tra 15 phút chương 1: Căn bậc hai - Căn bậc ba - Đề số 2 — Không quảng cáo

Sử dụng công thức trục căn thức của biểu thức lấy căn.

Với các biểu thức $A,B,C$ mà $A,B,C > 0$, ta có: $\sqrt {\dfrac{A}{{BC}}}  = \dfrac{{\sqrt {ABC} }}{{\left| {BC} \right|}} = \dfrac{{\sqrt {ABC} }}{{BC}}$ (vì $B,C > 0$)

- Đưa biểu thức dưới dấu căn về hằng đẳng thức ${a^2} - 2ab + {b^2} = {\left( {a - b} \right)^2};$${a^2} + 2ab + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2}$

- Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.$

- Cộng trừ các căn thức bậc hai.

$\sqrt {17 - 12\sqrt 2 }  + \sqrt {9 + 4\sqrt 2 }$$= \sqrt {17 - 2.6\sqrt 2 }  + \sqrt {9 + 2.2\sqrt 2 }  = \sqrt {9 - 2.3.2\sqrt 2  + 8}  + \sqrt {8 + 2.2\sqrt 2 .1 + 1}$

$= \sqrt {{{\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {2\sqrt 2  + 1} \right)}^2}}  = \left| {3 - 2\sqrt 2 } \right| + \left| {2\sqrt 2  + 1} \right| = 3 - 2\sqrt 2  + \left( {2\sqrt 2  + 1} \right) = 4.$

Sử dụng công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn: Với hai biểu thức $A,B$ mà $B \ge 0$, ta có $\sqrt {{A^2}B}  = \left| A \right|\sqrt B  = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,{\rm{khi}}\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,{\rm{khi}}\,A < 0\end{array} \right.$

Ta có $\sqrt {81{{\left( {2 - y} \right)}^4}}  = \sqrt {81.{{\left[ {{{\left( {2 - y} \right)}^2}} \right]}^2}}  = \left| {{{\left( {2 - y} \right)}^2}} \right|\sqrt {81}  = 9{\left( {2 - y} \right)^2}$

Đưa thừa số vào trong dấu căn

+) $A\sqrt B  = \sqrt {{A^2}B}$ với $A \ge 0$ và $B \ge 0$

+) $A\sqrt B  =  - \sqrt {{A^2}B}$ với $A < 0$ và $B \ge 0$

Ta có $5y\sqrt y$$= \sqrt {{{\left( {5y} \right)}^2}y}  = \sqrt {25{y^2}.y}  = \sqrt {25{y^3}}$.

- Sử dụng công thức khai phương một tích  $\sqrt {AB}  = \sqrt A .\sqrt B ,\,\,\left( {A,B \ge 0} \right)$ đưa biểu thức về các căn thức cùng loại (cùng biểu thức dưới dấu căn).

- Sử dụng $\sqrt {{A^2}B}  = \left| A \right|\sqrt B  = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,khi\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,khi\,A < 0\end{array} \right.$

- Cộng trừ các căn thức.

$2\sqrt {32}  - \sqrt {27}  - 4\sqrt 8  + 3\sqrt {75}$$= 2\sqrt {16.2}  - \sqrt {9.3}  - 4\sqrt {4.2}  + 3\sqrt {25.3}$$= 8\sqrt 2  - 3\sqrt 3  - 8\sqrt 2  + 15\sqrt 3  = 12\sqrt 3$

-Sử dụng công thức trục căn thức $\sqrt {\dfrac{A}{B}}  = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{B},\,\left( {A \ge 0;\,B > 0} \right)$.

Ta có $\dfrac{3}{2}\sqrt 6  + 2\sqrt {\dfrac{2}{3}}  - 4\sqrt {\dfrac{3}{2}}  = \dfrac{3}{2}\sqrt 6  + 2.\dfrac{{\sqrt 6 }}{3} - 4\dfrac{{\sqrt 6 }}{2}$$= \sqrt 6 \left( {\dfrac{3}{2} + \dfrac{2}{3} - \dfrac{4}{2}} \right) = \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}$.

Cách 1: Đánh giá $B$

Cách 2:

- Muốn so sánh hai biểu thức $A$ và $B$ ta so sánh hiệu $A - B$ với số $0$.

Nếu $A - B > 0$ thì $A > B$, nếu $A - B < 0$ thì $A < B$

- Khi so sánh với số $0$ ta thường đưa về hằng đẳng thức để so sánh.

Cách 1: Ta có $B = \dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  + 2}} = \dfrac{{\left( {\sqrt x  + 2} \right) + 1}}{{\sqrt x  + 2}} = \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 2}} + \dfrac{1}{{\sqrt x  + 2}} = 1 + \dfrac{1}{{\sqrt x  + 2}}$

Vì $x \ge 0$ nên $\sqrt x  \ge 0 \Rightarrow \sqrt x  + 2 \ge 2 > 0$ suy ra $\dfrac{1}{{\sqrt x  + 2}} > 0$ hay $1 + \dfrac{1}{{\sqrt {x + 2} }} > 1$ hay $B > 1$.

-Đưa biểu thức dưới dấu căn về hằng đẳng thức ${a^2} + 2ab + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2};{a^2} - 2ab + {b^2} = {\left( {a - b} \right)^2}$

-Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.$

$\left( {\sqrt 5  + \sqrt 2 } \right)\sqrt {7 - 2\sqrt {10} }$

$=\left( {\sqrt 5  + \sqrt 2 } \right)\sqrt {5 - 2\sqrt 5 .\sqrt 2  + 2}  = \left( {\sqrt 5  + \sqrt 2 } \right)\sqrt {{{\left( {\sqrt 5  - \sqrt 2 } \right)}^2}}  = \left( {\sqrt 5  + \sqrt 2 } \right)\left| {\sqrt 5  - \sqrt 2 } \right|$

$= \left( {\sqrt 5  + \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 5  - \sqrt 2 } \right) = 5 - 2 = 3$

-Sử dụng các phép biến đổi như trục căn thức ở mẫu và đưa về hằng đẳng thức để rút gọn biến số trước khi thay vào biểu thức

-Thay giá trị của biến (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức và thực hiện phép tính

Ta có $x = \dfrac{2}{{2 - \sqrt 3 }} = \dfrac{{2\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}} = \dfrac{{4 + 2\sqrt 3 }}{{4 - 3}} = 4 + 2\sqrt 3  = {\left( {\sqrt 3  + 1} \right)^2}$.$\Rightarrow \sqrt x  = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}^2}}  = \sqrt 3  + 1$

Khi đó ta có $P = \dfrac{{4 + 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 3  + 1 + 1}} = \dfrac{{4 + 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 3  + 2}} = \dfrac{{2\left( {\sqrt 3  + 2} \right)}}{{\sqrt 3  + 2}} = 2$.

Sử dụng công thức đưa thừa số vào trong dấu căn và phân  tích đa thức thành nhân tử.

Đưa thừa số vào trong dấu căn

+) $A\sqrt B  = \sqrt {{A^2}B}$ với $A \ge 0$ và $B \ge 0$

+) $A\sqrt B  =  - \sqrt {{A^2}B}$ với $A < 0$ và $B \ge 0$

$P = x\sqrt y  + y\sqrt x$

$= {\left( {\sqrt x } \right)^2}\sqrt y  + {\left( {\sqrt y } \right)^2}\sqrt x$

$= \sqrt {xy} \left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)$

$Q = x\sqrt x  + y\sqrt y$

$= {\left( {\sqrt x } \right)^3} + {\left( {\sqrt y } \right)^3}$

$= \left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)\left( {x - \sqrt {xy}  + y} \right)$

$R = x - y = {\left( {\sqrt x } \right)^2} - {\left( {\sqrt y } \right)^2}$

$= \left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)$

Vậy $R = \left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)$.