Đề kiểm tra 15 phút chương 3: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn - Đề số 2 — Không quảng cáo

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}8x + 7y = 16\\8x - 3y =  - 24\end{array} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8x + 7y = 16\\8x + 7y - \left( {8x - 3y} \right) = 16 - \left( { - 24} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8x + 7y = 16\\10y = 40\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4\\8x + 7.4 = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4\\x =  - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( { - \dfrac{3}{2};4} \right)$

- Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.

- Sử dụng phương pháp cộng đại số để giải hệ phương trình.

Gọi số cần tìm là \(\overline {ab} ,\,\,a \in {\mathbb{N}^*},\,\,b \in {\mathbb{N}^*}\), $a,b \le 9$.

Đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số mới là \(\overline {ba} \)

Ta có hệ phương trình :

\(\left\{ \begin{array}{l}\overline {ba}  - \overline {ab}  = 63\\\overline {ba}  + \overline {ab}  = 99\; (1)\end{array} \right. \)

Cộng cả hai vế hai phương trình, ta được phương trình: \(2\overline {ab}  = 36\)

Giải phương trình ta được \(\overline {ab}  = 18\) (thỏa mãn)

Thay vào phương trình (1), ta được:

\(\overline {ba}  + 18 = 99\), suy ra \(\overline {ba} = 81\) (thỏa mãn)

Vậy số cần tìm là $18$  nên tổng các chữ số là $1 + 8 = 9$.

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 3 để được phương trình mới có hệ số của biến đối nhau.

Sử dụng phương pháp cộng đại số để tìm nghiệm của hệ.

Ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\\4x + y = 9\end{array} \right. \)

$\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\\12x + 3y = 27\end{array} \right.$

$\left\{\begin{array}{l}2x - 3y = 1\\2x - 3y+12x+3y =1+ 27\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\\14x = 28\end{array} \right. $

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\)

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;1} \right)\)

$ \Rightarrow x - y = 2 - 1 = 1$ .

-Thay $x;y$ vào hệ phương trình ta được hệ phương trình mới ẩn $a,b$.

-Giải hệ phương trình mới bằng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế ta tìm được $a,b$

Thay $x = 1$; $y = 3$ vào hệ ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}2.1 + b.3 = a\\b.1 + a.3 = 5\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow $$\left\{ \begin{array}{l}a - 3b = 2\\3a + b = 5\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow $$\left\{ \begin{array}{l}3a - 9b = 6\\3a + b = 5\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow $$\left\{ \begin{array}{l}10b =  - 1\\3a + b = 5\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow $$\left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{{ - 1}}{{10}}\\a = \dfrac{{17}}{{10}}\end{array} \right.$ .

Vậy $a = \dfrac{{ - 1}}{{10}}$; $y = \dfrac{{17}}{{10}}$ thì hệ phương trình có nghiệm $x = 1$; $y = 3.$

$ \Rightarrow 10\left( {a + b} \right) = 16$

Nhân hai vế của phương trình thứ hai với \(\sqrt 2\) để hệ số của x ở hai phương trình bằng nhau.

Sử dụng phương pháp cộng đại số để giải hệ phương trình.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 2  - y\sqrt 3  = 1\\x + y\sqrt 3  = \sqrt 2 \end{array} \right.\)

Nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với \(\sqrt 2\) ta được phương trình: \(x\sqrt 2  + y\sqrt 6  = 2\)

Cộng từng vế của hai phương trình với nhau, ta được phương trình \(\left( {\sqrt 6  + \sqrt 3 } \right)y = 1\) hay \(y = \dfrac{1}{{\sqrt 6  + \sqrt 3 }}\)

Thay \(y = \dfrac{1}{{\sqrt 6  + \sqrt 3 }}\) vào \(x\sqrt 2  - y\sqrt 3  = 1\) ta được \(x\sqrt 2  - \sqrt 3 .\dfrac{{\sqrt 6  - \sqrt 3 }}{3} = 1\) suy ra \( x = 1\)

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;\dfrac{{\sqrt 6  - \sqrt 3 }}{3}} \right)\)

$ \Rightarrow x + 3\sqrt 3 y = 1 + 3\sqrt 2  - 3 = 3\sqrt 2  - 2$ .

Gọi số cần tìm là \(\overline {ab} ,\,\,a \in {\mathbb{N}^*},\,\,b \in {\mathbb{N}^*}\), $a,b \le 9$.

Biểu diễn số mới theo ab, từ đó viết các phương trình dựa vào đề bài để lập hệ phương trình.

Sử dụng phương pháp thế để giải hệ phương trình tìm được.

Gọi số cần tìm là \(\overline {ab} ,\,\,a \in {\mathbb{N}^*},\,\,b \in {\mathbb{N}^*}\), $a,b \le 9$.

Đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số mới là \(\overline {ba} \)

Ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}a - b = 5\\\overline {ba}  = \dfrac{3}{8}\overline {ab}  \end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}a - b = 5 \;(1)\\b.10 + a = \dfrac{3}{8}\left( {a.10 + b} \right) (2)\end{array}\right.$

Nhân cả hai vế của phương trình (2) với 8, ta được phương trình: \(80b + 8a = 30a + 3b \;(3)\)

Từ phương trình (1) suy ra $a = b + 5$

Thế vào phương trình (3), ta được:

$80b + 8\left( {b + 5} \right) = 30\left( {b + 5} \right) + 3b$

$55b = 110$

$b = 2$ (TM)

Suy ra $a = 2 + 5 = 7$ (TM)

Vậy số cần tìm là $72$ nên tích các chữ số là $2.7 = 14$.

Thay $m$ vào hệ phương trình rồi giải hệ bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số ta tìm được nghiệm.

Thay $m = 2$ vào hệ ta được $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\2x + y = 3\end{array} \right.$

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\2x + y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {1;1} \right)$ khi $m = 2$.

Bước 1: Giải hệ phương trình tìm được nghiệm $\left( {x,y} \right)$ theo tham số $m$

Bước 2: Thay $x,y$ vừa tìm được vào phương trình yêu cầu để tìm $m$

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}mx - y = 2m\\4x - my = m + 6\end{array} \right..\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = mx - 2m\\4x - m\left( {mx - 2m} \right) = m + 6\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = mx - 2m\\x\left( {{m^2} - 4} \right) = 2{m^2} - m - 6\end{array} \right.$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi ${m^2} - 4 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \left\{ { -2;2} \right\}$

Khi đó $x = \dfrac{{2{m^2} - m - 6}}{{{m^2} - 4}} = \dfrac{{\left( {2m + 3} \right)\left( {m - 2} \right)}}{{\left( {m - 2} \right)\left( {m + 2} \right)}} = \dfrac{{2m + 3}}{{m + 2}}$$ \Rightarrow y = m.\dfrac{{2m + 3}}{{m + 2}} - 2m$.

Thay $\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2m + 3}}{{m + 2}}\\y = \dfrac{{ - m}}{{m + 2}}\end{array} \right.$ vào phương trình \(6x - 2y = 13\) ta được

$6.\dfrac{{2m + 3}}{{m + 2}} - 2.\dfrac{{ - m}}{{m + 2}} = 13$

$\Leftrightarrow \dfrac{{14m + 18}}{{m + 2}} = 13$

$\Rightarrow 14m + 18 = 13m + 26 $

$\Leftrightarrow m = 8\left( {TM} \right)$

Vậy $m = 8$ là giá trị cần tìm.

Giải bài toán có nội dung hình học  bằng cách  lập hệ phương trình.

Chú ý các công thức: Chu vi hình chữ nhật $ = $  ( Chiều dài $ + $  chiều rộng) $.2$

Diện tích hình chữ nhật $ = $ chiều dài $.$  Chiều rộng

Gọi chiều dài  và chiều rộng của khu vườn hình chữ nhật lần lượt là $x,y\,\,\left( {24 > x > y > 0;\,m} \right)$

Vì khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng $48$  $m$nên ta có $\left( {x + y} \right).2 = 48$

Nếu tăng chiều rộng lên bốn lần và chiều dài lên ba lần thì chu vi của khu vườn sẽ là $162$  $m$

Nên ta có phương trình $(4y + 3x).2 = 162$

Suy ra hệ hương trình $\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + y} \right).2 = 48\\(4y + 3x).2 = 162\end{array} \right. $ hay $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 24\\3x + 4y = 81\end{array} \right. $

Giải hệ phương trình, ta được $\left\{ \begin{array}{l}x = 15\\y = 9\end{array} \right.$ (thỏa mãn)

Vậy diện tích khu vườn ban đầu là $15.9 = 135\,{m^2}$.

Gọi số dụng cụ cần làm của xí nghiệp $1$ và xí nghiệp $2$ lần lượt là : \(x,y\),

(\(x,y \in {N^*}\) \(x,y < 360\), dụng cụ).

Số dụng cụ xí nghiệp $1$ và xí nghiệp $2$ làm được khi vượt mức lần lượt là \(112\% x\) và \(110\% y\) ( dụng cụ).

Ta có hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 360\\112\% x + 110\% y = 400\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 200\\y = 160\end{array} \right.\).

Vậy xí nghiệp $1$  phải làm \(200\) dụng cụ, xí nghiệp $2$ phải làm \(160\) dụng cụ.