Đề kiểm tra 15 phút chương 5: Hệ thức lượng trong tam giác vuông - Đề số 2 — Không quảng cáo

Ta có chiều cao  cột đèn là $AC$; $AB = 7,5\,m$ và $\widehat {ACB} = 42^\circ$

Xét tam giác $ACB$ vuông tại $A$ có

$AC = AB.\tan B = 7,5.\tan 42^\circ  \approx 6,753\,\,m$

Vậy cột đèn cao $6,753\,m$

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $BC = a,AC = b,AB = c.$ Ta có :

+) Theo định lý Py-ta-go ta có ${a^2} = {b^2} + {c^2}$ nên C đúng

+) Theo hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông ta có

$b = a.\sin B = a.\cos C$; $c = a.\sin C = a.\cos B$; $b = c.\tan B = c.\cot C$; $c = b.\tan C = b.\cot B$.

Nên A,D đúng.

Sử dụng  tỉ số lượng giác của góc nhọn từ đó suy ra góc.

Ta có $\tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{6}{{3,5}} = \dfrac{{12}}{7} \Rightarrow \widehat C \approx 59^\circ 45'$

Xét tam giác  $ABC$ vuông tại $A$ có

$\tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow AB = AC.\tan C = 20.\tan 60^\circ  = 20\sqrt 3$; $\cos C = \dfrac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow BC = \dfrac{{AC}}{{\cos C}} = \dfrac{{20}}{{\dfrac{1}{2}}} = 40$

Vậy $AB = 20\sqrt 3 ;BC = 40$.

+) Kẻ đường cao $BE$

+) Sử dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông thích hợp để tính $EC$.

+) Sử dụng công thức tính diện tích hình thang

Vì $\widehat A = \widehat D = {90^0} \Rightarrow AD{\rm{//}}BC$ hay $ABCD$ là hình thang vuông tại $A,D$

Kẻ $BE \bot DC$ tại $E$.

Tứ giác $ABED$ có ba góc vuông $\widehat A = \widehat D = \widehat E = 90^\circ$ nên $ABED$ là hình chữ nhật

Suy ra $DE = AB = 4\,\,cm;BE = AD = 3\,cm$

Xét tam giác $BEC$ vuông tại $E$ có $EC = BE.\cot 40^\circ=3.\cot40^0$ $\Rightarrow DC = DE + EC =4+3.\cot40^0$

Do đó ${S_{ABCD}} = \dfrac{{\left( {AB + CD} \right).AD}}{2}$$=\dfrac{(4+4+3.\cot40^0).3}{2}$

$\approx 17,36\,\,c{m^2}$.

+) Kẻ đường cao $AH$

+) Sử dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông thích hợp  và định lý Py-ta-go để tính cạnh.

Kẻ đường cao $AH$.

Xét tam giác vuông $ABH$, ta có: $BH = AB.\cos B = AB.\cos {60^0} = 16.\dfrac{1}{2} = 8$$AH = AB.\sin B = AB.\sin {60^0} = 16.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 8\sqrt 3$.

Áp dụng định lý Pythago vào tam giác vuông $AHC$ ta có:

$H{C^2} = A{C^2} - A{H^2} = {14^2} - {\left( {8\sqrt 3 } \right)^2} = 196 - 192 = 4$. Suy ra $HC = 2$. Vậy $BC = CH + HB = 2 + 8 = 10$.

Ta có $BC = 3,5\,\,m;\widehat C = 62^\circ$. Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $AC = BC.\cos \widehat C = 3,5.\cos 62^\circ  \simeq 1,64\,\,m$.

Sử dụng  định lý Py-ta-go trong tam giác vuông

Giả sử $AB$ là độ cao của cây tre, $C$ là điểm gãy.

Đặt $AC = x \Rightarrow CB = CD = 8-x$

Vì $\Delta ACD$ vuông tại $A$

$⇒A{C^2} + A{D^2} = C{D^2}$$\Rightarrow {x^2} + 3,{5^2} = {\left( {8 - x} \right)^2}$$\Rightarrow 16x = \dfrac{{207}}{4}$$\Rightarrow x = \dfrac{{207}}{{64}} \approx 3,23m$

Vậy điểm gãy cách gốc cây $3,23\,m$