Đề kiểm tra 15 phút chương 7: Góc với đường tròn - Đề số 1 — Không quảng cáo

Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung có số đo bằng  nửa số đo cung bị chắn

Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

Sử dụng định nghĩa góc nội tiếp:

Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.

Hình $1$ góc $\widehat {BOA}$ là góc ở tâm .

Hình $3$ có $1$ cạnh không phải là dây của đường tròn.

Hình $4$ đỉnh $B$ không nằm trên đường tròn.

Hình $2$ góc $\widehat {BCA}$ là góc nội tiếp chắn cung $AB$

+) Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.

+) Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây ( không đi qua tâm ) thì đi qua điểm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy.

+) Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.

Sử dụng liên hệ giữa dây và đường kính để so sánh các góc ở tâm từ đó so sánh các cung và dây cung.

Kẻ $KH \bot CD$ và $KH \bot AB$ lần lượt tại $K$ và $H$.

Suy ra $OK$ vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của $\widehat {DOC}$ $\Rightarrow \widehat {DOK} = \widehat {COK}$

Và $OH$ vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của $\widehat {AOB}$ $\Rightarrow \widehat {AOH} = \widehat {BOH}$

Do đó $\widehat {AOH} + \widehat {DOK} = \widehat {BOH} + \widehat {COK} \Rightarrow \widehat {AOD} = \widehat {COB}$

Nên số đo cung $AD$ bằng số đo cung $BC$, từ đó $AD = BC$.

Phương án A, C, D sai, B đúng.

Sử dụng tính chất góc nội tiếp để chứng minh các góc bằng nhau để chứng minh hai tam giác đồng dạng.

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {ACB} = \widehat {ADB}$  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AB$ ); $\widehat {ABD} = 90^\circ$  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Nên $\Delta ACH \backsim \Delta ADB\left( {g - g} \right)$

Suy ra $\dfrac{{AC}}{{AD}} = \dfrac{{AH}}{{AB}}$

Do đó $AH.AD = AC.AB$.

Sử dụng hệ quả của góc nội tiếp để chứng minh các góc bằng nhau và suy ra tam giác đồng dạng

Từ đó có hệ thức cần chứng minh.

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {AEB} = \widehat {ABC}$ (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau $AB = AC$ )

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta AEB$ có $\widehat A$ chung và $\widehat {AEB} = \widehat {ABC}$ (cmt) nên $\Delta ABD\backsim\Delta AEB\left( {g - g} \right) \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AE}} = \dfrac{{AD}}{{AB}} \Rightarrow A{B^2} = AE.AD$

Sử dụng  hệ quả về góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung để chứng minh các góc bằng nhau

Ta có $\widehat {yAB} = \widehat {ACB}$ (hệ quả) mà $\widehat {yAB} = \widehat {ABM}$ (so le trong) nên $\widehat {ACB} = \widehat {ABM} \Rightarrow \Delta AMB\backsim\Delta ABC\left( {g - g} \right)$

$\dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow AM.AC = A{B^2}$ .