Đề kiểm tra 45 phút chương 1: Căn bậc hai - Căn bậc ba - Đề số 1 — Không quảng cáo

Với hai biểu thức $A,B$ mà $B \ge 0$, ta có $\sqrt {{A^2}B}  = \left| A \right|\sqrt B  = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,{\rm{khi}}\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,{\rm{khi}}\,A < 0\end{array} \right.$

Sử dụng công thức khai phương một thương: Với số $a$ không âm và số $b$ dương , ta có $\sqrt {\dfrac{a}{b}}  = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$.

$\sqrt {\dfrac{{81}}{{169}}}  = \dfrac{{\sqrt {81} }}{{\sqrt {169} }} = \dfrac{{\sqrt {{9^2}} }}{{\sqrt {{{13}^2}} }} = \dfrac{9}{{13}}$

Sử dụng công thức \(\sqrt[3]{{{a^3}}} = a\) sau đó cộng trừ các số hạng.

Ta có: \(2\sqrt[3]{{27{a^3}}} - 3\sqrt[3]{{8{a^3}}} + 4\sqrt[3]{{125{a^3}}}\)\(  = 2\sqrt[3]{{{{\left( {3a} \right)}^3}}} - 3\sqrt[3]{{{{\left( {2a} \right)}^3}}} + 4\sqrt[3]{{{{\left( {5a} \right)}^3}}}\)

\( = 2.3a - 3.2a + 4.5a = 20a\).

Sử dụng kiến thức căn thức bậc hai của một tích.

Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt {ab}  = \sqrt a .\sqrt b $.

Sử dụng điều kiện để $\sqrt A $ có nghĩa. Ta có $\sqrt A $ có nghĩa khi $ A \ge 0$.

Ta có  $\sqrt {x - 3} $ có nghĩa khi $x - 3 \ge 0 $ hay $x \ge 3$.

Đưa thừa số vào trong dấu căn để so sánh hai số $\sqrt A  < \sqrt B  \Leftrightarrow 0 \le A < B$.

Đưa thừa số vào trong dấu căn

+) $A\sqrt B  = \sqrt {{A^2}B} $ với $A \ge 0$ và $B \ge 0$

+) $A\sqrt B  =  - \sqrt {{A^2}B} $ với $A < 0$ và $B \ge 0$

Ta có $5\sqrt 3  = \sqrt {{5^2}.3}  = \sqrt {25.3}  = \sqrt {75} $; $4\sqrt 5  = \sqrt {{4^2}.5}  = \sqrt {16.5}  = \sqrt {80} $

Vì $75 < 80 $ nên $\sqrt {75}  < \sqrt {80}  $ hay $ 5\sqrt 3  < 4\sqrt 5 $

+) \(a < b \Leftrightarrow \sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b}\)

+) \(\sqrt[3]{{ab}} = \sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b}\)

+) Với \(b \ne 0\), ta có \(\sqrt[3]{{\dfrac{a}{b}}} = \dfrac{{\sqrt[3]{a}}}{{\sqrt[3]{b}}}\).

+)\({\left( {\sqrt[3]{a}} \right)^3} = \sqrt[3]{{{a^3}}} = a\)

Từ đó D đúng.

-Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt a .\sqrt b  = \sqrt {ab} $

-Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|$

Cách giải:

$\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}{{.7}^2}}  = \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}} .\sqrt {{7^2}}  = \left| { - 5} \right|.\left| 7 \right| = 5.7 = 35$.

-Sử dụng công thức khai phương một tích  \(\sqrt {AB}  = \sqrt A .\sqrt B ,\,\,\left( {A,B \ge 0} \right)\) đưa biểu thức về các căn thức cùng loại (cùng biểu thức dưới dấu căn).

-Cộng trừ các căn thức

\(\sqrt {32}  + \sqrt {50}  - 3\sqrt 8  - \sqrt {18} \)\( = \sqrt {16.2}  + \sqrt {25.2}  - 3\sqrt {4.2}  - \sqrt {9.2} \)

\(= 4\sqrt 2  + 5\sqrt 2  - 6\sqrt 2  - 3\sqrt 2  = 0\)

- Đưa biểu thức dưới dấu căn về hằng đẳng thức \({a^2} - 2ab + {b^2} = {\left( {a - b} \right)^2}\)

- Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.\)

- Cộng trừ các căn thức bậc hai.

\(\sqrt {{{\left( {\sqrt 2  + \sqrt 5 } \right)}^2}}  - \sqrt {7 - 2\sqrt {10} } \)\( = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2  + \sqrt 5 } \right)}^2}}  - \sqrt {5 - 2\sqrt 5 .\sqrt 2  + 2}  \)\(= \sqrt {{{\left( {\sqrt 2  + \sqrt 5 } \right)}^2}}  - \sqrt {{{\left( {\sqrt 5  - \sqrt 2 } \right)}^2}} \)

\( = \left| {\sqrt 2  + \sqrt 5 } \right| - \left| {\sqrt 5  - \sqrt 2 } \right| \)\(= \sqrt 2  + \sqrt 5  -\sqrt 5  +\sqrt 2  = 2\sqrt 2 \)

Đưa thừa số vào trong dấu căn

+) $A\sqrt B  = \sqrt {{A^2}B} $ với $A \ge 0$ và $B \ge 0$

+) $A\sqrt B  =  - \sqrt {{A^2}B} $ với $A < 0$ và $B \ge 0$

Ta có $5y\sqrt y $$ = \sqrt {{{\left( {5y} \right)}^2}y}  = \sqrt {25{y^2}.y}  = \sqrt {25{y^3}} $.

Phương trình theo dạng \(\sqrt A  = B\)

- Tìm điều kiện \(B \ge 0\)

- Với điều kiện trên thì phương trình theo dạng \(\sqrt A  = B \Leftrightarrow A = {B^2}\)

- So sánh điều kiện và kết luận nghiệm.

ĐK: \(x + 4 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge  - 4\)

Với điều kiện trên ta có:

\(\sqrt {{\rm{2}}{{\rm{x}}^2} + 31}  = x + 4\)\( \Leftrightarrow 2{x^2} + 31 = {\left( {x + 4} \right)^2} \Leftrightarrow 2{x^2} + 31 = {x^2} + 8x + 16\)\(\Leftrightarrow 2{x^2} + 31 - {x^2} - 8x - 16 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 15 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 5x + 15 = 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 3} \right) - 5\left( {x - 3} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\x - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\left( N \right)\\x = 5\left( N \right)\end{array} \right.\) .

Vậy phương trình có hai nghiệm là \(x = 3;x = 5.\)

Đưa phương trình chứa căn về dạng \(\sqrt A  = B\) và sử dụng cách giải \(\sqrt A  = B\; khi \;\left\{ \begin{array}{l}B \ge 0\\A = {B^2}\end{array} \right.\).

Với $x$ không âm ta có

$2\sqrt x  - 30 = 0 $

$ 2\sqrt x  = 30 $

$ \sqrt x  = 15$ mà $15 > 0$ nên $\sqrt x  = 15 $

$ x = {15^2} $

$x = 225$ (thỏa mãn).

Vậy $x = 225$.

- Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số \(a,b\) không âm, ta có \(\sqrt a .\sqrt b  = \sqrt {ab} \)

Ta có: \(\sqrt {\left( {5x - 3} \right)\left( {5x + 3} \right)}  = \sqrt {25{x^2} - 9} \) với \(x \ge \dfrac{3}{5}\)

Thay \(x = \sqrt {3,6} \) (tm đk \(x \ge \dfrac{3}{5}\)) vào biểu thức ta được: \(\sqrt {25{x^2} - 9}  = \sqrt {25.{{\left( {\sqrt {3,6} } \right)}^2} - 9}  = \sqrt {81}  = 9\).

- Tìm điều kiện xác định.

- Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số \(a,b\) không âm, ta có \(\sqrt {ab}  = \sqrt a .\sqrt b \)

- Sửdụng công thức khai phương một thương: Với \(a\) không âm và \(b>0\), ta có \(\sqrt {\dfrac{a}{b}}  = \dfrac{\sqrt a }{\sqrt b} \)

- Nhóm nhân tử chung để đưa phương trình về dạng đã biết.

- So sánh điều kiện rồi kết luận nghiệm.

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\9x - 9 \ge 0\\\dfrac{{x - 1}}{{64}} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\9\left( {x - 1} \right) \ge 0\\x - 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\)

Với điều kiện trên ta có: \(\dfrac{3}{2}\sqrt {x - 1}  - \dfrac{1}{2}\sqrt {9{\rm{x}} - 9}  + 16\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{64}}}  = 12\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\sqrt {x - 1}  - \dfrac{1}{2}\sqrt {9\left( {x - 1} \right)}  + 16\dfrac{{\sqrt {x - 1} }}{{\sqrt {64} }} = 12\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\sqrt {x - 1}  - \dfrac{1}{2}\sqrt 9 .\sqrt {x - 1}  + 16\dfrac{{\sqrt {x - 1} }}{8} = 12\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\sqrt {x - 1}  - \dfrac{3}{2}.\sqrt {x - 1}  + 2\sqrt {x - 1}  = 12\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {x - 1}  = 12\\ \Leftrightarrow \sqrt {x - 1}  = 6\\ \Leftrightarrow x - 1 = 36\\ \Leftrightarrow x = 37\left( {TM} \right)\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 37\).

- Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số \(a,b\) không âm, ta có \(\sqrt {ab}  = \sqrt a .\sqrt b \)

- Sử dụng công thức khai phương một thương: Với số \(a\) không âm và số \(b\) dương, ta có \(\sqrt {\dfrac{a}{b}} = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}\).

- Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|\)

\(D = \dfrac{{2\left( {a + b} \right)}}{{\sqrt b }}\sqrt {\dfrac{b}{{{a^2} + 2ab + {b^2}}}} \)\( = \dfrac{{2\left( {a + b} \right)}}{{\sqrt b }}.\dfrac{{\sqrt b }}{{\sqrt {{a^2} + 2ab + {b^2}} }} = \dfrac{{2\left( {a + b} \right)}}{{\sqrt b }}.\dfrac{{\sqrt b }}{{\sqrt {{{\left( {a + b} \right)}^2}} }}\)\( = \dfrac{{2\left( {a + b} \right)}}{{\sqrt b }}.\dfrac{{\sqrt b }}{{\left| {a + b} \right|}} = \dfrac{{2\left( {a + b} \right)}}{{\sqrt b }}.\dfrac{{\sqrt b }}{{a + b}} = 2\) (Vì \(a,b > 0 \Rightarrow a + b > 0 \Rightarrow \left| {a + b} \right| = a + b\))

Sử dụng công thức

Với các biểu thức \(A,B,C\) mà \(A \ge 0,B \ge 0,A \ne B\) ta có:

\(\dfrac{C}{{\sqrt A  - \sqrt B }} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A  + \sqrt B } \right)}}{{A - B}}\); \(\dfrac{C}{{\sqrt A  + \sqrt B }} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A  - \sqrt B } \right)}}{{A - B}}\)

Ta có: \(\dfrac{4}{{3\sqrt x  + 2\sqrt y }}\)\( = \dfrac{{4\left( {3\sqrt x  - 2\sqrt y } \right)}}{{\left( {3\sqrt x  + 2\sqrt y } \right)\left( {3\sqrt x  - 2\sqrt y } \right)}} = \dfrac{{4\left( {3\sqrt x  - 2\sqrt y } \right)}}{{{{\left( {3\sqrt x } \right)}^2} - {{\left( {2\sqrt y } \right)}^2}}} = \dfrac{{12\sqrt x  - 8\sqrt y }}{{9x - 4y}}\)

- Trục căn thức ở mẫu theo công thức

Với các biểu thức \(A,B,C\) mà \(A \ge 0,A \ne {B^2}\), ta có: \(\dfrac{C}{{\sqrt A  + B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A  - B} \right)}}{{A - {B^2}}};\dfrac{C}{{\sqrt A  - B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A  + B} \right)}}{{A - {B^2}}}\)

- Quy đồng mẫu số các phân số rồi rút gọn.

Ta có: \(\dfrac{{4a}}{{\sqrt 7  - \sqrt 3 }} - \dfrac{{2a}}{{2 - \sqrt 2 }} - \dfrac{a}{{\sqrt 3  + \sqrt 2 }}\)\( = \dfrac{{4a\left( {\sqrt 7  + \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {\sqrt 7  - \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 7  + \sqrt 3 } \right)}} - \dfrac{{2a\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {2 - \sqrt 2 } \right)\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}} - \dfrac{{a\left( {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {\sqrt 3  + \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right)}}\)

\( = a\left( {\sqrt 7  + \sqrt 3 } \right) - a\left( {2 + \sqrt 2 } \right) - a\left( {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right)\)\( = a\left( {\sqrt 7  + \sqrt 3  - 2 - \sqrt 2  - \sqrt 3  + \sqrt 2 } \right)\)

\( = a\left( {\sqrt 7  - 2} \right)\)

Trục căn thức ở mẫu theo công thức

Với các biểu thức $A,B,C$ mà $A \ge 0,A \ne {B^2}$, ta có $\dfrac{C}{{\sqrt A  + B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A  - B} \right)}}{{A - {B^2}}};\dfrac{C}{{\sqrt A  - B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A  + B} \right)}}{{A - {B^2}}}$

Ta có $\dfrac{{2a}}{{2 - \sqrt a }} = \dfrac{{2a\left( {2 + \sqrt a } \right)}}{{\left( {2 - \sqrt a } \right)\left( {2 + \sqrt a } \right)}} = \dfrac{{2a\sqrt a  + 4a}}{{4 - a}}.$

- Muốn so sánh hai biểu thức \(A\) và \(B\) ta so sánh hiệu \(A - B\) với số \(0\).

Nếu \(A - B > 0 \) thì \( A > B\), nếu \(A - B < 0 \) thì \( A < B\)

- Khi so sánh với số \(0\) ta thường đưa về hằng đẳng thức để so sánh.

Ta xét hiệu: \(A - 2 = \dfrac{{2\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 1}} - 2 = \dfrac{{2\sqrt x  + 1 - 2\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 1}} = \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt x  + 1}}\)

Vì \( - 1 < 0\) và \(\sqrt x  \ge 0,\,\forall x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x  + 1 \ge 1 > 0\) nên \(\dfrac{{ - 1}}{{\sqrt x  + 1}} < 0\) hay \(A - 2 < 0 \) hay \( A < 2.\).

- Sử dụng các phép biến đổi như trục căn thức ở mẫu và đưa về hằng đẳng thức để rút gọn biến số trước khi thay vào biểu thức.

- Thay giá trị của biến (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức và thực hiện phép tính.

Ta có: \(x = \dfrac{8}{{3 - \sqrt 5 }} = \dfrac{{8\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}}{{\left( {3 - \sqrt 5 } \right)\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}} = \dfrac{{8\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}}{{9 - 5}} = 6 + 2\sqrt 5  = {\left( {\sqrt 5  + 1} \right)^2}\left( {tm} \right)\)\( \Rightarrow \sqrt x  = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5  + 1} \right)}^2}}  = \sqrt 5  + 1\)

Khi đó ta có: \(P = \dfrac{{\sqrt 5  + 1}}{{\sqrt 5  + 1 - 1}} = \dfrac{{\sqrt 5  + 1}}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{5 + \sqrt 5 }}{5}\).

-Sử dụng công thức khai phương một thương \(\sqrt {\dfrac{A}{B}}  = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\) với \(A \ge 0,B > 0\) và công thức khai phương một tích  \(\sqrt {AB}  = \sqrt A .\sqrt B ,\,\,\left( {A,B \ge 0} \right)\)

-Khử mẫu biểu thức lấy căn theo công thức \(\sqrt {\dfrac{A}{B}}  = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{B}\,\left( {A \ge 0,B > 0} \right)\)

-Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|\)

-Cộng trừ các căn thức bậc hai.

Với $a>0$ ta có \(2\sqrt a  - \sqrt {9{a^3}}  + {a^2}\sqrt {\dfrac{{16}}{a}}  + \dfrac{2}{{{a^2}}}\sqrt {36{a^5}} \)$ = 2\sqrt a  - \sqrt {9{a^2}.a}  + {a^2}\dfrac{{\sqrt {16a} }}{a} + \dfrac{2}{{{a^2}}}.\sqrt {36{a^4}.a} $

$ = 2\sqrt a  - 3a\sqrt a  + 4a\sqrt a  + \dfrac{2}{{{a^2}}}.6{a^2}\sqrt a $$ = 2\sqrt a  - 3a\sqrt a  + 4a\sqrt a  + 12\sqrt a  = 14\sqrt a  + a\sqrt a $

- Áp dụng \(\sqrt[3]{a} > b \) thì \( a > {b^3}\).

Ta có: \(\sqrt[3]{{4 - 2x}} > 4 \\ 4 - 2x > {4^3} \\ 4 - 2x > 64 \\ 2x <  - 60 \\ x <  - 30\).

+ Sử dụng công thức khai phương một tích \(\sqrt {AB}  = \sqrt A .\sqrt B \left( {A;B \ge 0} \right)\)

+ Sử dụng hẳng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|\)  và \({\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ac} \right)\)

Ta có \(P = \dfrac{{2\sqrt 6  + \sqrt 3  + 4\sqrt 2  + 3}}{{\sqrt {11 + 2\left( {\sqrt 6  + \sqrt {12}  + \sqrt {18} } \right)} }}\)

\( = \dfrac{{\left( {\sqrt 6  + 3 + 3\sqrt 2 } \right) + \left( {\sqrt 2  + \sqrt 3  + \sqrt 6 } \right)}}{{\sqrt {2 + 3 + 6 + 2\left( {\sqrt 2 .\sqrt 3  + \sqrt 2 .\sqrt 6  + \sqrt 3 .\sqrt 6 } \right)} }}\)

\( = \dfrac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 2  + \sqrt 3  + \sqrt 6 } \right) + \left( {\sqrt 2  + \sqrt 3  + \sqrt 6 } \right)}}{{\sqrt {2 + 3 + 6 + 2\left( {\sqrt 2 .\sqrt 3  + \sqrt 2 .\sqrt 6  + \sqrt 3 .\sqrt 6 } \right)} }}\)

\( = \dfrac{{\left( {\sqrt 2  + \sqrt 3  + \sqrt 6 } \right)\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 2  + \sqrt 3  + \sqrt 6 } \right)}^2}} }}\)

\( = \dfrac{{\left( {\sqrt 2  + \sqrt 3  + \sqrt 6 } \right)\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}}{{\sqrt 2  + \sqrt 3  + \sqrt 6 }}\)

\( = \sqrt 3  + 1.\)

Vậy \(P = \sqrt 3  + 1\) .

Bài toán kết hợp cả hai bất đẳng thức quen thuộc là Cosi và Bunhiacopxki để chứng minh bất đẳng thức.

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

+ Bất đẳng thức Cosi cho hai số thực dương: $a + b \ge 2\sqrt {ab} $.

+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số $(a;\,\,b);\,\,(c;\,\,d)$ ta có ${\left( {ac + bd} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right)$.

Theo bất đẳng thức Cô si:

$\sqrt {1 + {a^2}}  + \sqrt {1 + {b^2}}  \ge 2\sqrt {\sqrt {1 + {a^2}} \sqrt {1 + {b^2}} }  = 2\sqrt[4]{(1 + {a^2}) (1 + {b^2})}.$

Theo bất đẳng thức Bunhia cốpxki:

\(\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right) = \left( {1 + {a^2}} \right)\left( {{b^2} + 1} \right) \ge {(a + b)^2}\)

$ \Rightarrow \sqrt {1 + {a^2}}  + \sqrt {1 + {b^2}}  \ge 2\sqrt {a + b} $

Tương tự: $\sqrt {1 + {b^2}}  + \sqrt {1 + {c^2}}  \ge 2\sqrt {b + c} $$ \Rightarrow \sqrt {1 + {c^2}}  + \sqrt {1 + {a^2}}  \ge 2\sqrt {c + a} $

Cộng cả ba bất đẳng thức trên rồi chia cho 2 ta có:

\(\sqrt {1 + {a^2}}  + \sqrt {1 + {b^2}}  + \sqrt {1 + {c^2}}  \ge \sqrt {a + b}  + \sqrt {b + c}  + \sqrt {c + a} \)

Dấu “=” xảy ra khi \(a = b = c = 1.\)