Đề kiểm tra 45 phút chương 1: Căn bậc hai - Căn bậc ba - Đề số 1 — Không quảng cáo

Với hai biểu thức $A,B$ mà $B \ge 0$, ta có $\sqrt {{A^2}B}  = \left| A \right|\sqrt B  = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,{\rm{khi}}\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,{\rm{khi}}\,A < 0\end{array} \right.$

Sử dụng công thức khai phương một thương: Với số $a$ không âm và số $b$ dương , ta có $\sqrt {\dfrac{a}{b}}  = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$.

$\sqrt {\dfrac{{81}}{{169}}}  = \dfrac{{\sqrt {81} }}{{\sqrt {169} }} = \dfrac{{\sqrt {{9^2}} }}{{\sqrt {{{13}^2}} }} = \dfrac{9}{{13}}$

Sử dụng công thức $\sqrt[3]{{{a^3}}} = a$ sau đó cộng trừ các số hạng.

Ta có: $2\sqrt[3]{{27{a^3}}} - 3\sqrt[3]{{8{a^3}}} + 4\sqrt[3]{{125{a^3}}}$$= 2\sqrt[3]{{{{\left( {3a} \right)}^3}}} - 3\sqrt[3]{{{{\left( {2a} \right)}^3}}} + 4\sqrt[3]{{{{\left( {5a} \right)}^3}}}$

$= 2.3a - 3.2a + 4.5a = 20a$.

Sử dụng kiến thức căn thức bậc hai của một tích.

Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt {ab}  = \sqrt a .\sqrt b$.

Sử dụng điều kiện để $\sqrt A$ có nghĩa. Ta có $\sqrt A$ có nghĩa khi $A \ge 0$.

Ta có  $\sqrt {x - 3}$ có nghĩa khi $x - 3 \ge 0$ hay $x \ge 3$.

Đưa thừa số vào trong dấu căn để so sánh hai số $\sqrt A  < \sqrt B  \Leftrightarrow 0 \le A < B$.

Đưa thừa số vào trong dấu căn

+) $A\sqrt B  = \sqrt {{A^2}B}$ với $A \ge 0$ và $B \ge 0$

+) $A\sqrt B  =  - \sqrt {{A^2}B}$ với $A < 0$ và $B \ge 0$

Ta có $5\sqrt 3  = \sqrt {{5^2}.3}  = \sqrt {25.3}  = \sqrt {75}$; $4\sqrt 5  = \sqrt {{4^2}.5}  = \sqrt {16.5}  = \sqrt {80}$

Vì $75 < 80$ nên $\sqrt {75}  < \sqrt {80}$ hay $5\sqrt 3  < 4\sqrt 5$

+) $a < b \Leftrightarrow \sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b}$

+) $\sqrt[3]{{ab}} = \sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b}$

+) Với $b \ne 0$, ta có $\sqrt[3]{{\dfrac{a}{b}}} = \dfrac{{\sqrt[3]{a}}}{{\sqrt[3]{b}}}$.

+)${\left( {\sqrt[3]{a}} \right)^3} = \sqrt[3]{{{a^3}}} = a$

Từ đó D đúng.

-Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt a .\sqrt b  = \sqrt {ab}$

-Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|$

Cách giải:

$\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}{{.7}^2}}  = \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}} .\sqrt {{7^2}}  = \left| { - 5} \right|.\left| 7 \right| = 5.7 = 35$.

-Sử dụng công thức khai phương một tích  $\sqrt {AB}  = \sqrt A .\sqrt B ,\,\,\left( {A,B \ge 0} \right)$ đưa biểu thức về các căn thức cùng loại (cùng biểu thức dưới dấu căn).

-Cộng trừ các căn thức

$\sqrt {32}  + \sqrt {50}  - 3\sqrt 8  - \sqrt {18}$$= \sqrt {16.2}  + \sqrt {25.2}  - 3\sqrt {4.2}  - \sqrt {9.2}$

$= 4\sqrt 2  + 5\sqrt 2  - 6\sqrt 2  - 3\sqrt 2  = 0$

- Đưa biểu thức dưới dấu căn về hằng đẳng thức ${a^2} - 2ab + {b^2} = {\left( {a - b} \right)^2}$

- Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.$

- Cộng trừ các căn thức bậc hai.

$\sqrt {{{\left( {\sqrt 2  + \sqrt 5 } \right)}^2}}  - \sqrt {7 - 2\sqrt {10} }$$= \sqrt {{{\left( {\sqrt 2  + \sqrt 5 } \right)}^2}}  - \sqrt {5 - 2\sqrt 5 .\sqrt 2  + 2}$$= \sqrt {{{\left( {\sqrt 2  + \sqrt 5 } \right)}^2}}  - \sqrt {{{\left( {\sqrt 5  - \sqrt 2 } \right)}^2}}$

$= \left| {\sqrt 2  + \sqrt 5 } \right| - \left| {\sqrt 5  - \sqrt 2 } \right|$$= \sqrt 2  + \sqrt 5  -\sqrt 5  +\sqrt 2  = 2\sqrt 2$

Đưa thừa số vào trong dấu căn

+) $A\sqrt B  = \sqrt {{A^2}B}$ với $A \ge 0$ và $B \ge 0$

+) $A\sqrt B  =  - \sqrt {{A^2}B}$ với $A < 0$ và $B \ge 0$

Ta có $5y\sqrt y$$= \sqrt {{{\left( {5y} \right)}^2}y}  = \sqrt {25{y^2}.y}  = \sqrt {25{y^3}}$.

Phương trình theo dạng $\sqrt A  = B$

- Tìm điều kiện $B \ge 0$

- Với điều kiện trên thì phương trình theo dạng $\sqrt A  = B \Leftrightarrow A = {B^2}$

- So sánh điều kiện và kết luận nghiệm.

ĐK: $x + 4 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge  - 4$

Với điều kiện trên ta có:

$\sqrt {{\rm{2}}{{\rm{x}}^2} + 31}  = x + 4$$\Leftrightarrow 2{x^2} + 31 = {\left( {x + 4} \right)^2} \Leftrightarrow 2{x^2} + 31 = {x^2} + 8x + 16$$\Leftrightarrow 2{x^2} + 31 - {x^2} - 8x - 16 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 15 = 0$

$\Leftrightarrow {x^2} - 3x - 5x + 15 = 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 3} \right) - 5\left( {x - 3} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\x - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\left( N \right)\\x = 5\left( N \right)\end{array} \right.$ .

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x = 3;x = 5.$

Đưa phương trình chứa căn về dạng $\sqrt A  = B$ và sử dụng cách giải $\sqrt A  = B\; khi \;\left\{ \begin{array}{l}B \ge 0\\A = {B^2}\end{array} \right.$.

Với $x$ không âm ta có

$2\sqrt x  - 30 = 0$

$2\sqrt x  = 30$

$\sqrt x  = 15$ mà $15 > 0$ nên $\sqrt x  = 15$

$x = {15^2}$

$x = 225$ (thỏa mãn).

Vậy $x = 225$.

- Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt a .\sqrt b  = \sqrt {ab}$

Ta có: $\sqrt {\left( {5x - 3} \right)\left( {5x + 3} \right)}  = \sqrt {25{x^2} - 9}$ với $x \ge \dfrac{3}{5}$

Thay $x = \sqrt {3,6}$ (tm đk $x \ge \dfrac{3}{5}$) vào biểu thức ta được: $\sqrt {25{x^2} - 9}  = \sqrt {25.{{\left( {\sqrt {3,6} } \right)}^2} - 9}  = \sqrt {81}  = 9$.

- Tìm điều kiện xác định.

- Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt {ab}  = \sqrt a .\sqrt b$

- Sửdụng công thức khai phương một thương: Với $a$ không âm và $b>0$, ta có $\sqrt {\dfrac{a}{b}}  = \dfrac{\sqrt a }{\sqrt b}$

- Nhóm nhân tử chung để đưa phương trình về dạng đã biết.

- So sánh điều kiện rồi kết luận nghiệm.

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\9x - 9 \ge 0\\\dfrac{{x - 1}}{{64}} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\9\left( {x - 1} \right) \ge 0\\x - 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1$

Với điều kiện trên ta có: $\dfrac{3}{2}\sqrt {x - 1}  - \dfrac{1}{2}\sqrt {9{\rm{x}} - 9}  + 16\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{64}}}  = 12$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\sqrt {x - 1}  - \dfrac{1}{2}\sqrt {9\left( {x - 1} \right)}  + 16\dfrac{{\sqrt {x - 1} }}{{\sqrt {64} }} = 12\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\sqrt {x - 1}  - \dfrac{1}{2}\sqrt 9 .\sqrt {x - 1}  + 16\dfrac{{\sqrt {x - 1} }}{8} = 12\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\sqrt {x - 1}  - \dfrac{3}{2}.\sqrt {x - 1}  + 2\sqrt {x - 1}  = 12\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {x - 1}  = 12\\ \Leftrightarrow \sqrt {x - 1}  = 6\\ \Leftrightarrow x - 1 = 36\\ \Leftrightarrow x = 37\left( {TM} \right)\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 37$.

- Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt {ab}  = \sqrt a .\sqrt b$

- Sử dụng công thức khai phương một thương: Với số $a$ không âm và số $b$ dương, ta có $\sqrt {\dfrac{a}{b}} = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$.

- Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|$

$D = \dfrac{{2\left( {a + b} \right)}}{{\sqrt b }}\sqrt {\dfrac{b}{{{a^2} + 2ab + {b^2}}}}$$= \dfrac{{2\left( {a + b} \right)}}{{\sqrt b }}.\dfrac{{\sqrt b }}{{\sqrt {{a^2} + 2ab + {b^2}} }} = \dfrac{{2\left( {a + b} \right)}}{{\sqrt b }}.\dfrac{{\sqrt b }}{{\sqrt {{{\left( {a + b} \right)}^2}} }}$$= \dfrac{{2\left( {a + b} \right)}}{{\sqrt b }}.\dfrac{{\sqrt b }}{{\left| {a + b} \right|}} = \dfrac{{2\left( {a + b} \right)}}{{\sqrt b }}.\dfrac{{\sqrt b }}{{a + b}} = 2$ (Vì $a,b > 0 \Rightarrow a + b > 0 \Rightarrow \left| {a + b} \right| = a + b$)

Sử dụng công thức

Với các biểu thức $A,B,C$ mà $A \ge 0,B \ge 0,A \ne B$ ta có:

$\dfrac{C}{{\sqrt A  - \sqrt B }} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A  + \sqrt B } \right)}}{{A - B}}$; $\dfrac{C}{{\sqrt A  + \sqrt B }} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A  - \sqrt B } \right)}}{{A - B}}$

Ta có: $\dfrac{4}{{3\sqrt x  + 2\sqrt y }}$$= \dfrac{{4\left( {3\sqrt x  - 2\sqrt y } \right)}}{{\left( {3\sqrt x  + 2\sqrt y } \right)\left( {3\sqrt x  - 2\sqrt y } \right)}} = \dfrac{{4\left( {3\sqrt x  - 2\sqrt y } \right)}}{{{{\left( {3\sqrt x } \right)}^2} - {{\left( {2\sqrt y } \right)}^2}}} = \dfrac{{12\sqrt x  - 8\sqrt y }}{{9x - 4y}}$

- Trục căn thức ở mẫu theo công thức

Với các biểu thức $A,B,C$ mà $A \ge 0,A \ne {B^2}$, ta có: $\dfrac{C}{{\sqrt A  + B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A  - B} \right)}}{{A - {B^2}}};\dfrac{C}{{\sqrt A  - B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A  + B} \right)}}{{A - {B^2}}}$

- Quy đồng mẫu số các phân số rồi rút gọn.

Ta có: $\dfrac{{4a}}{{\sqrt 7  - \sqrt 3 }} - \dfrac{{2a}}{{2 - \sqrt 2 }} - \dfrac{a}{{\sqrt 3  + \sqrt 2 }}$$= \dfrac{{4a\left( {\sqrt 7  + \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {\sqrt 7  - \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 7  + \sqrt 3 } \right)}} - \dfrac{{2a\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {2 - \sqrt 2 } \right)\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}} - \dfrac{{a\left( {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {\sqrt 3  + \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right)}}$

$= a\left( {\sqrt 7  + \sqrt 3 } \right) - a\left( {2 + \sqrt 2 } \right) - a\left( {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right)$$= a\left( {\sqrt 7  + \sqrt 3  - 2 - \sqrt 2  - \sqrt 3  + \sqrt 2 } \right)$

$= a\left( {\sqrt 7  - 2} \right)$

Trục căn thức ở mẫu theo công thức

Với các biểu thức $A,B,C$ mà $A \ge 0,A \ne {B^2}$, ta có $\dfrac{C}{{\sqrt A  + B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A  - B} \right)}}{{A - {B^2}}};\dfrac{C}{{\sqrt A  - B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A  + B} \right)}}{{A - {B^2}}}$

Ta có $\dfrac{{2a}}{{2 - \sqrt a }} = \dfrac{{2a\left( {2 + \sqrt a } \right)}}{{\left( {2 - \sqrt a } \right)\left( {2 + \sqrt a } \right)}} = \dfrac{{2a\sqrt a  + 4a}}{{4 - a}}.$

- Muốn so sánh hai biểu thức $A$ và $B$ ta so sánh hiệu $A - B$ với số $0$.

Nếu $A - B > 0$ thì $A > B$, nếu $A - B < 0$ thì $A < B$

- Khi so sánh với số $0$ ta thường đưa về hằng đẳng thức để so sánh.

Ta xét hiệu: $A - 2 = \dfrac{{2\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 1}} - 2 = \dfrac{{2\sqrt x  + 1 - 2\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 1}} = \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt x  + 1}}$

Vì $- 1 < 0$ và $\sqrt x  \ge 0,\,\forall x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x  + 1 \ge 1 > 0$ nên $\dfrac{{ - 1}}{{\sqrt x  + 1}} < 0$ hay $A - 2 < 0$ hay $A < 2.$.

- Sử dụng các phép biến đổi như trục căn thức ở mẫu và đưa về hằng đẳng thức để rút gọn biến số trước khi thay vào biểu thức.

- Thay giá trị của biến (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức và thực hiện phép tính.

Ta có: $x = \dfrac{8}{{3 - \sqrt 5 }} = \dfrac{{8\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}}{{\left( {3 - \sqrt 5 } \right)\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}} = \dfrac{{8\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}}{{9 - 5}} = 6 + 2\sqrt 5  = {\left( {\sqrt 5  + 1} \right)^2}\left( {tm} \right)$$\Rightarrow \sqrt x  = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5  + 1} \right)}^2}}  = \sqrt 5  + 1$

Khi đó ta có: $P = \dfrac{{\sqrt 5  + 1}}{{\sqrt 5  + 1 - 1}} = \dfrac{{\sqrt 5  + 1}}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{5 + \sqrt 5 }}{5}$.

-Sử dụng công thức khai phương một thương $\sqrt {\dfrac{A}{B}}  = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}$ với $A \ge 0,B > 0$ và công thức khai phương một tích  $\sqrt {AB}  = \sqrt A .\sqrt B ,\,\,\left( {A,B \ge 0} \right)$

-Khử mẫu biểu thức lấy căn theo công thức $\sqrt {\dfrac{A}{B}}  = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{B}\,\left( {A \ge 0,B > 0} \right)$

-Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|$

-Cộng trừ các căn thức bậc hai.

Với $a>0$ ta có $2\sqrt a  - \sqrt {9{a^3}}  + {a^2}\sqrt {\dfrac{{16}}{a}}  + \dfrac{2}{{{a^2}}}\sqrt {36{a^5}}$$= 2\sqrt a  - \sqrt {9{a^2}.a}  + {a^2}\dfrac{{\sqrt {16a} }}{a} + \dfrac{2}{{{a^2}}}.\sqrt {36{a^4}.a}$

$= 2\sqrt a  - 3a\sqrt a  + 4a\sqrt a  + \dfrac{2}{{{a^2}}}.6{a^2}\sqrt a$$= 2\sqrt a  - 3a\sqrt a  + 4a\sqrt a  + 12\sqrt a  = 14\sqrt a  + a\sqrt a$

- Áp dụng $\sqrt[3]{a} > b$ thì $a > {b^3}$.

Ta có: $\sqrt[3]{{4 - 2x}} > 4 \\ 4 - 2x > {4^3} \\ 4 - 2x > 64 \\ 2x <  - 60 \\ x <  - 30$.

+ Sử dụng công thức khai phương một tích $\sqrt {AB}  = \sqrt A .\sqrt B \left( {A;B \ge 0} \right)$

+ Sử dụng hẳng đẳng thức $\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|$  và ${\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ac} \right)$

Ta có $P = \dfrac{{2\sqrt 6  + \sqrt 3  + 4\sqrt 2  + 3}}{{\sqrt {11 + 2\left( {\sqrt 6  + \sqrt {12}  + \sqrt {18} } \right)} }}$

$= \dfrac{{\left( {\sqrt 6  + 3 + 3\sqrt 2 } \right) + \left( {\sqrt 2  + \sqrt 3  + \sqrt 6 } \right)}}{{\sqrt {2 + 3 + 6 + 2\left( {\sqrt 2 .\sqrt 3  + \sqrt 2 .\sqrt 6  + \sqrt 3 .\sqrt 6 } \right)} }}$

$= \dfrac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 2  + \sqrt 3  + \sqrt 6 } \right) + \left( {\sqrt 2  + \sqrt 3  + \sqrt 6 } \right)}}{{\sqrt {2 + 3 + 6 + 2\left( {\sqrt 2 .\sqrt 3  + \sqrt 2 .\sqrt 6  + \sqrt 3 .\sqrt 6 } \right)} }}$

$= \dfrac{{\left( {\sqrt 2  + \sqrt 3  + \sqrt 6 } \right)\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 2  + \sqrt 3  + \sqrt 6 } \right)}^2}} }}$

$= \dfrac{{\left( {\sqrt 2  + \sqrt 3  + \sqrt 6 } \right)\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}}{{\sqrt 2  + \sqrt 3  + \sqrt 6 }}$

$= \sqrt 3  + 1.$

Vậy $P = \sqrt 3  + 1$ .

Bài toán kết hợp cả hai bất đẳng thức quen thuộc là Cosi và Bunhiacopxki để chứng minh bất đẳng thức.

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

+ Bất đẳng thức Cosi cho hai số thực dương: $a + b \ge 2\sqrt {ab}$.

+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số $(a;\,\,b);\,\,(c;\,\,d)$ ta có ${\left( {ac + bd} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right)$.

Theo bất đẳng thức Cô si:

$\sqrt {1 + {a^2}}  + \sqrt {1 + {b^2}}  \ge 2\sqrt {\sqrt {1 + {a^2}} \sqrt {1 + {b^2}} }  = 2\sqrt[4]{(1 + {a^2}) (1 + {b^2})}.$

Theo bất đẳng thức Bunhia cốpxki:

$\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right) = \left( {1 + {a^2}} \right)\left( {{b^2} + 1} \right) \ge {(a + b)^2}$

$\Rightarrow \sqrt {1 + {a^2}}  + \sqrt {1 + {b^2}}  \ge 2\sqrt {a + b}$

Tương tự: $\sqrt {1 + {b^2}}  + \sqrt {1 + {c^2}}  \ge 2\sqrt {b + c}$$\Rightarrow \sqrt {1 + {c^2}}  + \sqrt {1 + {a^2}}  \ge 2\sqrt {c + a}$

Cộng cả ba bất đẳng thức trên rồi chia cho 2 ta có:

$\sqrt {1 + {a^2}}  + \sqrt {1 + {b^2}}  + \sqrt {1 + {c^2}}  \ge \sqrt {a + b}  + \sqrt {b + c}  + \sqrt {c + a}$

Dấu “=” xảy ra khi $a = b = c = 1.$