Đề kiểm tra 45 phút chương 3: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn - Đề số 1 — Không quảng cáo

Sử dụng kiến thức về phương trình bậc nhất hai ẩn:

Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng \(ax+by=c\), trong đó a, b và c là các số đã biết ($a\ne 0$ hoặc $b\ne 0$).

Phương trình $2x + \dfrac{y}{2} - 1 = 0$ là phương trình bậc nhất hai ẩn.

Nếu cặp số thực $({x_0},\,{y_0})$thỏa mãn ${\rm{ax}} + by = c$ thì nó được gọi là nghiệm của phương trình $ax + by = c$

+) Thay $x = 0;y = 1$ vào phương trình $x - 5y + 7 = 0$ ta được $0 - 5.1 + 7 = 0 \Leftrightarrow 2 = 0$ (vô lý) nên loại A.

+) Thay $x =  - 1;y = 2$ vào phương trình $x - 5y + 7 = 0$ ta được $ - 1 - 5.2 + 7 = 0 \Leftrightarrow  - 4 = 0$ (vô lý) nên loại B.

+) Thay $x = 2;y = 4$ vào phương trình $x - 5y + 7 = 0$ ta được $2 - 5.4 + 7 = 0 \Leftrightarrow  - 11 = 0$ (vô lý) nên loại D.

+) Thay $x = 3;y = 2$ vào phương trình $x - 5y + 7 = 0$ ta được $3 - 5.2 + 7 = 0 \Leftrightarrow 0 = 0$ (luôn đúng) nên chọn  C.

Gọi số cần tìm là \(\overline {ab} ,\,\,a \in {\mathbb{N}^*},\,\,b \in {\mathbb{N}^*}\), $a,b \le 9$.

Biểu diễn số mới theo ab, từ đó viết các phương trình dựa vào đề bài để lập hệ phương trình.

Sử dụng phương pháp thế để giải hệ phương trình tìm được.

Gọi số cần tìm là \(\overline {ab} ,\,\,a \in {\mathbb{N}^*},\,\,b \in {\mathbb{N}^*}\), $a,b \le 9$.

Đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số mới là \(\overline {ba} \)

Ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}a - b = 5\\\overline {ba}  = \dfrac{3}{8}\overline {ab}  \end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}a - b = 5 \;(1)\\b.10 + a = \dfrac{3}{8}\left( {a.10 + b} \right) (2)\end{array}\right.$

Nhân cả hai vế của phương trình (2) với 8, ta được phương trình: \(80b + 8a = 30a + 3b \;(3)\)

Từ phương trình (1) suy ra $a = b + 5$

Thế vào phương trình (3), ta được:

$80b + 8\left( {b + 5} \right) = 30\left( {b + 5} \right) + 3b$

$55b = 110$

$b = 2$ (TM)

Suy ra $a = 2 + 5 = 7$ (TM)

Vậy số cần tìm là $72$ nên tích các chữ số là $2.7 = 14$.

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 3 để được phương trình mới có hệ số của biến đối nhau.

Sử dụng phương pháp cộng đại số để tìm nghiệm của hệ.

Ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\\4x + y = 9\end{array} \right. \)

$\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\\12x + 3y = 27\end{array} \right.$

$\left\{\begin{array}{l}2x - 3y = 1\\2x - 3y+12x+3y =1+ 27\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\\14x = 28\end{array} \right. $

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\)

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;1} \right)\)

$ \Rightarrow x - y = 2 - 1 = 1$ .

Xét hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\)

- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{b}{{b'}}\)

- Hệ phương trình vô nghiệm \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} \ne \dfrac{c}{{c'}}\)

- Hệ phương trình có vô số nghiệm \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}}\)

Gọi thời gian ô tô đi trên mỗi đoạn đường $AB$ và $BC$ lần lượt là $x,y$

($x>0;y>0,5$ ; đơn vị : giờ). Ta có hệ phương trình :

\(\left\{ \begin{array}{l}50.x + 45.y = 165\\y - x = 0,5\end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l}x = 1,5\\y = 2\end{array} (TM) \right.\)

Vậy thời gian ô tô đi hết quãng đường $AB$ là $1,5$ giờ. Thời gian ô tô đi hết quãng đường $BC$ là $2$  giờ.

Xét hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\) (các hệ số khác $0$)

- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{b}{{b'}}\)

- Hệ phương trình vô nghiệm \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} \ne \dfrac{c}{{c'}}\)

- Hệ phương trình có vô số nghiệm \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}}\)

Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt 2 x - 2y = 3\\3\sqrt 2 x - 6y = 5\end{array} \right.\)  có $\dfrac{{\sqrt 2 }}{{3\sqrt 2 }} = \dfrac{{ - 2}}{{ - 6}} \ne \dfrac{3}{5} \Leftrightarrow \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3} \ne \dfrac{3}{5}$ nên hệ phương trình vô nghiệm.

-Thay $x;y$ vào hệ phương trình ta được hệ phương trình mới ẩn $a,b$.

-Giải hệ phương trình mới bằng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế ta tìm được $a,b$

Thay $x = 1$; $y = 3$ vào hệ ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}2.1 + b.3 = a\\b.1 + a.3 = 5\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow $$\left\{ \begin{array}{l}a - 3b = 2\\3a + b = 5\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow $$\left\{ \begin{array}{l}3a - 9b = 6\\3a + b = 5\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow $$\left\{ \begin{array}{l}10b =  - 1\\3a + b = 5\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow $$\left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{{ - 1}}{{10}}\\a = \dfrac{{17}}{{10}}\end{array} \right.$ .

Vậy $a = \dfrac{{ - 1}}{{10}}$; $y = \dfrac{{17}}{{10}}$ thì hệ phương trình có nghiệm $x = 1$; $y = 3.$

$ \Rightarrow 10\left( {a + b} \right) = 16$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l} - x - \sqrt 2 y = \sqrt 3 \\\sqrt 2 x + 2y =  - \sqrt 6 \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \sqrt 2 y - \sqrt 3 \\\sqrt 2 \left( { - \sqrt 2 y - \sqrt 3 } \right) + 2 y =  - \sqrt 6 \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \sqrt 2 y - \sqrt 3 \\ - 2y - \sqrt 6  + 2 y =  - \sqrt 6 \end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \sqrt 2 y - \sqrt 3 \\ - \sqrt 6  =  - \sqrt 6 \end{array} \right.$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \in \mathbb{R}\\x =  - \sqrt 2 y - \sqrt 3 \end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.

Xét hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\) (các hệ số khác $0$)

- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{b}{{b'}}\)

- Hệ phương trình vô nghiệm \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} \ne \dfrac{c}{{c'}}\)

- Hệ phương trình có vô số nghiệm \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}}\)

Để hệ phương trình  \(\left\{ \begin{array}{l}x + y =  - 1\\mx + y = 2m\end{array} \right.\)  vô nghiệm thì $\dfrac{m}{1} = \dfrac{1}{1} \ne \dfrac{{2m}}{1} $

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\m \ne \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow m = 1\)

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm $\left( {{x_0};{y_0}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a{x_0} + b{y_0} = c\\a'{x_0} + b'{y_0} = c'\end{array} \right..$

Thay $x = 1;y =  - 2$ vào hệ ta được

$\left\{ \begin{array}{l}2.1 + b.\left( { - 2} \right) =  - 1\\b.1 - 2a.\left( { - 2} \right) = 1\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} - 2b =  - 3\\b + 4a = 1\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{3}{2}\\\dfrac{3}{2} + 4a = 1\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{3}{2}\\a =  - \dfrac{1}{8}\end{array} \right.$

$a - b =  - \dfrac{{13}}{8}$

Vậy $a - b =  - \dfrac{{13}}{8}$.

Điều kiện: $x \ne 2;y \ne \dfrac{1}{2}$

Đặt $\dfrac{1}{{x - 2}} = a;\dfrac{1}{{2y - 1}} = b$ khi đó ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l}a + b = 2\\2a - 3b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2 - b\\2\left( {2 - b} \right) - 3b = 1\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2 - b\\ - 5b =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{3}{5}\\a = 2 - b\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{3}{5}\\a = 2 - \dfrac{3}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{7}{5}\\b = \dfrac{3}{5}\end{array} \right.$

Trả lại biến ta được

$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{x - 2}} = \dfrac{7}{5}\\\dfrac{1}{{2y - 1}} = \dfrac{3}{5}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7x - 14 = 5\\6y - 3 = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{19}}{7}\\y = \dfrac{4}{3}\end{array} \right.$(Thỏa mãn điều kiện)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{19}}{7};\dfrac{4}{3}} \right)$.

Đưa hệ phương trình về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn rồi giải bằng phương pháp thế.

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 1} \right)\left( {y - 1} \right) = xy - 1\\\left( {x - 3} \right)\left( {y - 3} \right) = xy - 3\end{array} \right.$

$ \left\{ \begin{array}{l}xy - x + y - 1 = xy - 1\\xy - 3x - 3y + 9 = xy - 3\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} - x + y = 0\\ - 3x - 3y = -12\end{array} \right.$

Từ phương trình thứ nhất ta có: \(x = y\)

Thay vào phương trình thứ hai, ta được:

\(- 6y = -12\) hay \(y=2\).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( { 2; 2} \right)$

ĐK: $x \ge 0;y \ge 0$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}4\sqrt x  - 3\sqrt y  = 4\\2\sqrt x  + \sqrt y  = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4\sqrt x  - 3\sqrt y  = 4\\4\sqrt x  + 2\sqrt y  = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5\sqrt y  = 0\\2\sqrt x  + \sqrt y  = 2\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt y  = 0\\2\sqrt x  = 2\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 0\\x = 1\end{array} \right.$ (Thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;0} \right) \Rightarrow x.y = 0.\)

ĐK: $x \ne 0$

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 2, ta được:

\(\dfrac{4}{x} + 2y = 6\)

Cộng cả hai vế của hai phương trình, ta được:

\(x = \frac{1}{2}\)

Suy ra \(y = - 1\)

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{1}{2}; - 1} \right)$ $ \Rightarrow \dfrac{x}{y} =  - \dfrac{1}{2}$

Bước 1: Giải hệ phương trình tìm được nghiệm $\left( {x,y} \right)$ theo tham số $m$

Bước 2: Thay $x,y$ vừa tìm được vào phương trình yêu cầu để tìm $m$

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}mx - y = 2m\\4x - my = m + 6\end{array} \right..\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = mx - 2m\\4x - m\left( {mx - 2m} \right) = m + 6\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = mx - 2m\\x\left( {{m^2} - 4} \right) = 2{m^2} - m - 6\end{array} \right.$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi ${m^2} - 4 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \left\{ { -2;2} \right\}$

Khi đó $x = \dfrac{{2{m^2} - m - 6}}{{{m^2} - 4}} = \dfrac{{\left( {2m + 3} \right)\left( {m - 2} \right)}}{{\left( {m - 2} \right)\left( {m + 2} \right)}} = \dfrac{{2m + 3}}{{m + 2}}$$ \Rightarrow y = m.\dfrac{{2m + 3}}{{m + 2}} - 2m$.

Thay $\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2m + 3}}{{m + 2}}\\y = \dfrac{{ - m}}{{m + 2}}\end{array} \right.$ vào phương trình \(6x - 2y = 13\) ta được

$6.\dfrac{{2m + 3}}{{m + 2}} - 2.\dfrac{{ - m}}{{m + 2}} = 13$

$\Leftrightarrow \dfrac{{14m + 18}}{{m + 2}} = 13$

$\Rightarrow 14m + 18 = 13m + 26 $

$\Leftrightarrow m = 8\left( {TM} \right)$

Vậy $m = 8$ là giá trị cần tìm.

Bước 1: Rút $x$ từ phương trình dưới thay vào phương trình trên

Bước 2: Tìm $y$ theo phương trình mới, từ đó suy ra $x$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}(m - 2)x - 3y =  - 5\\x + my = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}(m - 2)(3 - my) - 3y =  - 5\\x = 3 - my\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3m - {m^2}y - 6 + 2my - 3y =  - 5\\x = 3 - my\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}({m^2} - 2m + 3)y = 3m - 1{\rm{          }}(1)\\x = 3 - my{\rm{       }}\,{\rm{                       }}(2)\end{array} \right.$

Ta có: ${m^2} - 2m + 3 = {(m - 1)^2} + 2 > 0 \,\,\,\forall m$ nên PT $\left( 1 \right)$ có nghiệm duy nhất $\forall m$

Hay hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\forall m$

Từ $\left( 1 \right)$ ta có:$y = \dfrac{{3m - 1}}{{{m^2} - 2m + 3}}$ thay vào $\left( 2 \right)$ ta có $x = \dfrac{{9 - 5m}}{{{m^2} - 2m + 3}}$

Vậy $\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{9 - 5m}}{{{m^2} - 2m + 3}};\dfrac{{3m - 1}}{{{m^2} - 2m + 3}}} \right)$

Gọi vận tốc của tàu hỏa và ô tô lần lượt là $x,y\,\,\left( {{\rm{km/h}},x > y > 0; x>5} \right)$

Lập hệ phương trình theo x, y và giải hệ phương trình đó.

Gọi vận tốc của tàu hỏa và ô tô lần lượt là $x,y\,\,\left( {{\rm{km/h}},x > y > 0; x>5} \right)$

Vì  khách du lịch đi trên ôtô $4$  giờ, sau đó đi tiếp bằng tàu hỏa trong $7$  giờ được quãng đường dài \(640\,km\) nên  ta có phương trình $7x + 4y = 640$

Và mỗi giờ tàu hỏa đi nhanh hơn ôtô \(5\,km\) nên ta có phương trình $x - y = 5$

Suy ra hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l}x - y = 5\\7x + 4y = 640\end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l}x = y + 5\\7\left( {y + 5} \right) + 4y = 640\end{array} \right. $

$\left\{ \begin{array}{l}y = 55\\x = 60\end{array} \right.$ (thỏa mãn)

Vậy vận tốc tàu hỏa là $60\,\,{\rm{km/h}}$.

Gọi số học sinh dự thi của hai trường $A,B$ lần lượt là $x,y$ $ (350>x,y>0)$ (học sinh)

Lập hệ phương trình theo x, y và giải hệ đó.

Gọi số học sinh dự thi của hai trường $A,B$ lần lượt là $x,y$ $ (350>x,y>0)$ (học sinh)

Vì hai trường $A,B$ có tổng cộng $350$  học sinh dự thi nên ta có phương trình $x + y = 350$ (học sinh)

Vì trường $A$ có $97\% $  và trường B có $96\% $  số học sinh trúng tuyển và cả hai trường có $338$  học sinh trúng tuyển nên ta có phương trình $97\% .x + 96\% .y = 338$

Suy ra hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 350\\97\% .x + 96\% .y = 338\end{array} \right. $

Từ phương trình thứ nhất suy ra $x = 350 - y$

Thế vào phương trình thứ hai, ta được

$97\left( {350 - y} \right) + 96y = 33800$ suy ra $y = 150$ (thỏa mãn)

Vậy trường $B$ có 150 học sinh dự thi.

Giải bài toán có nội dung hình học  bằng cách  lập hệ phương trình.

Chú ý các công thức: Diện tích tam giác $ = $  (cạnh đáy$.$Chiều cao) $:2$

Gọi chiều cao của tam giác là \(h\), cạnh đáy tam giác là \(a\). \(\left( {h,a \in {N^*}, a>3,dm} \right)\).

Diện tích tam giác ban đầu là $\dfrac{1}{2}ah$ ($d{m^2}$)

Vì chiều cao bằng $\dfrac{3}{4}$  cạnh đáy nên ta có phương trình \(h = \dfrac{3}{4}a\)

Nếu chiều cao tăng thêm $3$  $dm$ và cạnh đáy giảm đi $3$  $dm$  thì diện tích của nó tăng thêm $12$  $d{m^2}$

Nên ta có phương trình \(\dfrac{1}{2}\left( {h + 3} \right)\left( {a - 3} \right) - \dfrac{1}{2}ah = 12\)

Ta có hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}h = \dfrac{3}{4}a\\\dfrac{1}{2}\left( {h + 3} \right)\left( {a - 3} \right) - \dfrac{1}{2}ah = 12\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}h = \dfrac{3}{4}a\\\dfrac{{ - 3h}}{2} + \dfrac{{3a}}{2} = \dfrac{{33}}{2}\end{array} \right. \)

Thế \(h = \dfrac{3}{4}a\) vào phương trình thứ hai, ta tính được \(a = 44\)

Suy ra $h = 33$ (thỏa mãn)

Vậy chiều cao của tam giác bằng \(44dm\), cạnh đáy tam giác bằng \(33dm\).

Suy ra diện tích tam giác ban đầu là $\dfrac{1}{2}.44.33 = 726\,\,\left( {d{m^2}} \right)$.