Đề kiểm tra 45 phút chương 6: Đường tròn - Đề số 1 — Không quảng cáo

• A.

  $AA'$ là tiếp tuyến chung của đường tròn $\left( B \right)$ và $\left( C \right).$

• B.

  $AA' = 25\,cm$

• C.

  $AA' = 15\,cm$

• D.

  Cả A và B đều đúng

• A.

  $36\,c{m^2}$

• B.

  $72\,c{m^2}$

• C.

  $144\,c{m^2}$

• D.

  $96\,c{m^2}$

• A.

  Bốn điểm  A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn đường kính AC

• B.

  BC  là đường trung trực của  OA

• C.

  Cả A, B đều đúng.

• D.

  Cả A, B đều sai

• A.

  $\dfrac{{DA}}{{BA}}$

• B.

  $\dfrac{{BA}}{{DA}}$

• C.

  $\dfrac{{BD}}{{BA}}$

• D.

  $\dfrac{{BA}}{{BD}}$

• A.

  $60^\circ$

• B.

  $80^\circ$

• C.

  $45^\circ$

• D.

  $90^\circ$

Đường thẳng và đường tròn có hai điểm chung thì đường thẳng cắt đường tròn.

Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.

Nên đường tròn có một tâm đối xứng duy nhất là tâm của đường tròn.

Sử dụng  cách chứng minh tiếp tuyến

Để chứng minh đường thẳng $d$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( {O;R} \right)$ tại tiếp điểm là $M$ ta chứng minh $OM \bot d$ tại $M$ và $M \in \left( O \right)$.

+) Xét tam giác $ABC$ có $B{C^2} = {5^2} = 25;A{B^2} + A{C^2} = {4^2} + {3^2} = 25; \Rightarrow B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$

$\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại A (định lý Pytago đảo)

$\Rightarrow AB \bot AC$ mà $A \in \left( {C;CA} \right)$ nên $AB$ là tiếp tuyến của $\left( {C;CA} \right)$

- Trong một đường tròn:  Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

Nếu một đường thẳng  đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

Sử dụng:  Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền là tâm đường tròn ngoại tiếp.

Gọi $I$ là trung điểm của $BC$.

Xét tam giác $BEC$ vuông tại $E$ có $EI = IB = IC = \dfrac{{BC}}{2}$ (vì $EI$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Xét tam giác $BDC$ vuông tại $D$ có $DI = IB = IC = \dfrac{{BC}}{2}$ (vì $DI$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Từ đó ta có $ID = IE = IB = IC = \dfrac{{BC}}{2}$ nên $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $DEBC$ và bán kính $R = \dfrac{{BC}}{2}$.

Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền là tâm đường tròn ngoại tiếp.

Sử dụng định lý Pytago để tính toán

Vì tam giác $ABC$ vuông tại$A$ nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền $BC$, bán kính là $R = \dfrac{{BC}}{2}$.

Theo định lý Pytago ta có $BC = \sqrt {A{C^2} + A{B^2}}  = 13$ nên bán kính $R = \dfrac{{13}}{2}$.

Kẻ các đường vuông góc từ tâm đến dây.

Sử dụng mối liên hệ giữa dây và đường kính và tính chất hình chữ nhật để suy ra khoảng cách.

Xét đường tròn tâm $\left( O \right)$,

Kẻ $OE \bot AB$ tại $E$ suy ra $E$ là trung điểm của $AB$, kẻ $OF \bot CD$ tại $F$ suy ra $F$ là trung điểm của $CD$,

Xét tứ giác $OEMF$ có $\widehat E = \widehat F = \widehat M = 90^\circ$ nên $OEIF$ là hình chữ nhật, suy ra $FM = OE$.

Ta có $CD = 8\,cm \Rightarrow FC = 4\,cm$ mà $MC = 1\,cm \Rightarrow FM = FC - MC = 4 - 1 = 3\,cm$ nên $OE = FM = \,3cm$

Vậy khoảng cách từ tâm $O$ đến dây $AB$ là $3\,cm$

• A.

  $AA'$ là tiếp tuyến chung của đường tròn $\left( B \right)$ và $\left( C \right).$

• B.

  $AA' = 25\,cm$

• C.

  $AA' = 15\,cm$

• D.

  Cả A và B đều đúng

• A.

  $36\,c{m^2}$

• B.

  $72\,c{m^2}$

• C.

  $144\,c{m^2}$

• D.

  $96\,c{m^2}$

Bước 1: Đưa các điểm đã cho về các đỉnh của tam giác vuông.

Bước 2: Tìm đường tròn đi qua bốn đỉnh $A,D,E,M$.

Bước 3: Sử dụng liên hệ giữa dây và đường kính.

+) Ta có $\widehat {CDN} = \widehat {ECN}$ (vì cùng phụ với $\widehat {CNE}$) nên $\widehat {CNE} + \widehat {ECN} = \widehat {CNE} + \widehat {CDN} = 90^\circ$ suy ra $\widehat {CEN} = 90^\circ  \Rightarrow CM \bot DN$

+) Gọi $I$ là trung điểm của $DM$.

Xét tam giác vuông $ADM$ ta có $AI = ID = IM = \dfrac{{DM}}{2}$. Xét tam giác vuông $DEM$ ta có $EI = ID = IM = \dfrac{{DM}}{2}$

Nên $EI = ID = IM = IA = \dfrac{{DM}}{2}$

Do đó bốn điểm $A,D,E,M$ cùng thuộc đường tròn tâm $I$ bán kính $R = \dfrac{{DM}}{2}$.

Xét $\left( {I;\dfrac{{DM}}{2}} \right)$ có $DM$ là đường kính  và $AE$ là dây không đi qua tâm nên $DM > AE$.

Sử dụng  cách chứng minh tiếp tuyến

Để chứng minh đường thẳng $d$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( {O;R} \right)$ tại tiếp điểm là $M$ ta chứng minh $OM \bot d$ tại $M$ và $M \in \left( O \right)$.

Gọi $O$ là trung điểm $AI$. Xét tam giác vuông $AIK$ có $OK = OI = OA \Rightarrow K \in \left( {O;\dfrac{{AI}}{2}} \right)$ (*)

Ta đi chứng minh $OK \bot KH$ tại $K$.

Xét tam giác $OKA$ cân tại $O$ ta có $\widehat {OKA} = \widehat {OAK}$ $\left( 1 \right)$

Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ có đường cao $AH$ nên $H$ là trung điểm của$BC$ . Xét tam giác vuông $BKC$ có $HK = HB = HC = \dfrac{{BC}}{2}$

Suy ra tam giác $KHB$ cân tại $H$ nên $\widehat {HKB} = \widehat {HBK}$$\left( 2 \right)$

Mà $\widehat {HBK} = \widehat {KAH}$ (cùng phụ với $\widehat {ACB}$) $\left( 3 \right)$

Từ $\left( 1 \right);\left( 2 \right);\left( 3 \right)$ suy ra $\widehat {HKB} = \widehat {AKO}$ mà $\widehat {AKO} + \widehat {OKI} = 90^\circ  \Rightarrow \widehat {HKB} + \widehat {OKI} = 90^\circ  \Rightarrow \widehat {OKH} = 90^\circ$ hay $OK \bot KH$ tại $K$ (**)

Từ (*) và (**) thì $HK$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $AI$.

Sử dụng dấu hiệu nhận biết các hình đặc biệt và cách chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn.

Gọi $I$, $J$ lần lượt là trung điểm của $BH$ và $CH.$

Để chứng minh $DE$ là tiếp tuyến của đường tròn tâm $I$ đường kính $BH$ ta chứng minh

$ID \bot DE$ hay $\widehat {ODI} = {90^o}$

Vì $D,E$ lần lượt thuộc đường tròn đường kính $BH$ và $HC$ nên ta có: $\widehat {BDH} = \widehat {CEH} = {90^0}$

Suy ra tứ giác $ADHE$ là hình chữ nhật.

Gọi $O$ là giao điểm của $AH$ và$DE$, khi đó ta có $OD = OH = OE = OA$ .

Suy ra $\Delta ODH$ cân tại $O \Rightarrow \widehat {ODH} = \widehat {OHD}$

Ta cũng có $\Delta IDH$ cân tại $I$$\Rightarrow \widehat {IDH} = \widehat {IHD}$

Từ đó $\Rightarrow \widehat {IDH} + \widehat {HDO} = \widehat {IHD} + \widehat {DHO} \Rightarrow \widehat {IDO} = 90^\circ$$\Rightarrow ID \bot DE$

Ta có $ID \bot DE,D \in \left( I \right)$ nên  $DE$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $BH$.

Từ chứng minh trên suy ra các phương án B,C,D đúng.

Bước 1: Xác định khoảng cách từ tâm $A$ đến các trục tọa độ.

Bước 2: Sử dụng vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn.

Vì $A\left( {4;5} \right)$ nên khoảng cách từ $A$ đến trục hoành là ${d_1} = \left| {{y_A}} \right| = 5$, khoảng cách từ $A$ đến trục tung là ${d_2} = \left| {{x_A}} \right| = 4$

Nhận thấy ${d_2} = R\left( { = 5} \right)$ nên trục hoành tiếp xúc với đường tròn $\left( {A;5} \right)$.

Và ${d_2} = 4 < 5 = R$ nên trục tung cắt đường tròn $\left( {A;5} \right)$.

Sử dụng cách chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn.

Xét đường tròn $\left( O \right)$ có $O'C$ là đường kính, suy ra $\widehat {CBO'} = \widehat {CAO'} = 90^\circ$ hay $CB \bot O'B$ tại $B$ và $AC \bot AO'$ tại $A$.

Do đó $AB,BC$ là hai tiếp tuyến của $\left( {O'} \right)$ nên $AC = CB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Nên A, B, C đúng.

Sử dụng  tính chất đường nối tâm của hai đường tròn cắt nhau và hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Diện tích hình chữ nhật bằng tích chiều dài và chiều rộng.

Xét $\left( O \right)$ có $OD = OA \Rightarrow \Delta OAD$ cân tại $O \Rightarrow \widehat {ODA} = \widehat {OAD}$

Xét $\left( {O'} \right)$ có $O'E = O'A \Rightarrow \Delta O'EB$ cân tại $O' \Rightarrow \widehat {O'EA} = \widehat {O'AE}$

Mà $\widehat O + \widehat {O'} = 360^\circ  - \widehat {O'ED} - \widehat {ODE} = 180^\circ$

$\Leftrightarrow 180^\circ  - \widehat {ODA} - \widehat {OAD} + 180^\circ  - \widehat {O'EA} - \widehat {O'AE} = 180^\circ  \Leftrightarrow 2\left( {\widehat {OAD} + \widehat {O'AE}} \right) = 180^\circ$

$\Rightarrow \widehat {OAD} + \widehat {O'AE} = 90^\circ$$\Rightarrow \widehat {DAE} = 90^\circ  \Rightarrow \Delta ADE$ vuông tại $A$.

Mà $\widehat {BDA} = 90^\circ$ ( vì tam giác $BAD$ có cạnh $AB$ là đường kính của $\left( O \right)$và $D \in \left( O \right)$ ) nên $BD \bot AD \Rightarrow \widehat {MDA} = 90^\circ$

Tương tự ta có $\widehat {MEA} = 90^\circ$ .

Nên tứ giác $DMEA$ là hình chữ nhật.

Xét tam giác $OAD$ cân tại $O$ có $\widehat {DOA} = 60^\circ$ nên $\Delta DOA$ đều, suy ra $OA = AD = 8\,cm$ và $\widehat {ODA} = 60^\circ$

$\Rightarrow \widehat {ADE} = 30^\circ$. Xét tam giác $ADE$ ta có $EA = AD.\tan \widehat {EDA} = 8.\tan 30^\circ  = \dfrac{8}{3}\sqrt 3$

${S_{DMEA}} = AD.AE = 8.\dfrac{8}{3}\sqrt 3  = \dfrac{64}{3}\sqrt 3 \,\,c{m^2}$.

• A.

  Bốn điểm  A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn đường kính AC

• B.

  BC  là đường trung trực của  OA

• C.

  Cả A, B đều đúng.

• D.

  Cả A, B đều sai

• A.

  $\dfrac{{DA}}{{BA}}$

• B.

  $\dfrac{{BA}}{{DA}}$

• C.

  $\dfrac{{BD}}{{BA}}$

• D.

  $\dfrac{{BA}}{{BD}}$

• A.

  $60^\circ$

• B.

  $80^\circ$

• C.

  $45^\circ$

• D.

  $90^\circ$

+ Sử dụng tam giác đồng dạng

+ Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để chỉ ra các điểm và đoạn thẳng cố định.

Vì $OH \bot xy,$ nên $H$  là một điểm cố định và $OH$  không đổi

Gọi giao điểm của $AB$ và  $OM$ là $E;$ giao điểm của $AB$ với $OH$  là $F.$

Vì $\left( {O;R} \right)$ và đường tròn đường kính $OM$  cắt nhau tại $A;B$ nên  $AB \bot OM$

Lại có điểm A nằm trên đường tròn đường kính OM nên $\widehat {OAM} = 90^\circ$

Xét $\Delta OEF$ và $\Delta OHM$ có $\widehat O$ chung và $\widehat {OEF} = \widehat {OHM} = 90^\circ$ nên $\Delta OEF \backsim \Delta OHM\left( {g - g} \right)$

Suy ra $\dfrac{{OE}}{{OH}} = \dfrac{{OF}}{{OM}} \Rightarrow OE.OM = OF.OH$

Xét $\Delta MAO$ vuông tại $A$  có $AE$  là đường cao nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có

$\begin{array}{*{20}{l}}{OM.OE = O{A^2}\; = {R^2}}\\{\; \Rightarrow OF.OH = {R^2}\; \Rightarrow OF = \dfrac{{{R^2}}}{{OH}}}\end{array}$

Do $OH$ không đổi nên $OF$ cũng không đổi

Vậy $F$  là một điểm cố định hay $AB$  luôn đi qua một điểm cố định là giao của $AB$ và $OH.$