Đề kiểm tra 45 phút chương 8: Hình trụ - Hình nón - Hình cầu - Đề số 1 — Không quảng cáo

Sử dụng công thức diện tích mặt cầu $S = 4\pi {R^2}$

Vì đường kính \(d = 6\,cm\) nên bán kính hình cầu \(R = \dfrac{6}{2} = 3\,\,cm\)

Diện tích mặt cầu $S = 4\pi {R^2} = 4\pi {.3^2} = 36\pi \,\,\left( {c{m^2}} \right)$

Sử dụng công thức thể tich khối nón \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h\) để tính bán kính đường tròn đáy

Sử dụng công thức liên hệ\({R^2} + {h^2} = {l^2}\) để tìm đường sinh của hình nón

Sử dụng công thức tính diện tích toàn phần của hình nón \({S_{tp}} = \pi Rl + \pi {R^2}\)

Ta có \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}.10 = 1000\pi  \)

nên \({R^2} = 300\) suy ra \( R = 10\sqrt 3 \)

Và \({R^2} + {h^2} = {l^2}\) hay \( {10^2} + {\left( {10\sqrt 3 } \right)^2} = {l^2} \) suy ra \( l = 20\,cm\)

Diện tích toàn phần của hình nón là:

\({S_{tp}} = \pi Rl + \pi {R^2} = \pi .10\sqrt3.20 + \pi.300= (300+200\sqrt3)\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\)

Tính đáy \(BD\)và \(CD\) theo định lý Pytago

Sử dụng công thức diện tích xung quanh hình nón cụt ${S_{xq}} = \pi (R + r)l.$

Xét tam giác vuông \(ABD\) ta có \(BD = \sqrt {A{D^2} - A{B^2}}  = \sqrt {{5^2} - {3^2}}  = 4\,\,\left( {cm} \right)\)

Kẻ $CH \bot BD$ tại \(H\) . Khi đó \(ACHB\) là hình vuông nên\(CH = AB = AC = BH = 3\,cm \Rightarrow HD = 4 - 3 = 1\,cm\)

Xét tam giác vuông \(CHD\) ta có \(C{D^2} = C{H^2} + H{D^2} = {3^2} + {1^2}=10\Rightarrow CD  = \sqrt {10} \)

Khi quay hình thang vuông \(ABDC\) quanh cạnh \(AB\) ta được hình nón cụt có bán kính đáy nhỏ \(AC\) , bán kính đáy lớn \(BD\) , đường sinh \(CD\) và chiều cao \(AB\) .

Khi đó diện tích xung quanh hình nón cụt là ${S_{xq}} = \pi (R + r)l = \pi \left( {3 + 4} \right)\sqrt {10}  = 7\pi \sqrt {10} \,\,\left( {c{m^2}} \right)$

Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ ${S_{xq}} = 2\pi Rh$ và diện tích một đáy ${S_d} = \pi {R^2}.$

Bán kính đường tròn đáy \(R = \dfrac{8}{2} = 4\,cm\)  nên diện tích một đáy ${S_d} = \pi {R^2} = 16\pi \,(c{m^2})$

Ta có diện tích xung quanh của hình trụ: ${S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi .4.12 = 96\pi \,(c{m^2})$

Vì hộp sữa đã mất nắp nên diện tích các mặt của hộp sữa là:

\(96\pi  + 16\pi  = 112\pi \,\left( {c{m^2}} \right).\)

Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ bán kính \(R\) và chiều cao \(h\)

\({S_{xq}} = 2\pi Rh\)

Diện tích xung quanh của hình trụ là \({S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi .4.5 = 40\pi \,\,\left( {c{m^2}} \right)\)

Sử dụng công thức thể tích hình cầu $V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}$ và thể tích của khối trụ \(V = \pi {R^2}h\)

Vì đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính hình cầu nên \(h = 2R\) với \(R\) là bán kính hình cầu và cũng là bán kính đáy của hình trụ.

Thể tích hình cầu \({V_{cầu}} = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\) ; thể tích khối trụ ${V_{trụ}} = \pi {R^2}.2R = 2\pi {R^3}$

Tỉ số thể tích hình cầu và thể tích hình trụ là \(\dfrac{{{V_{cầu}}}}{{{V_{trụ}}}} = \dfrac{{\dfrac{4}{3}\pi {R^3}}}{{2\pi {R^3}}} = \dfrac{2}{3}\) .

Sử dụng công thức diện tích mặt cầu $S = 4\pi {R^2}$ và diện tích toàn phần của hình lập phương \({S_{tp}} = 6{a^2}\) với \(a\) là độ dài cạnh của hình lập phương.

Vì hình cầu nội tiếp hình lập phương nên bán kính hình cầu \(R = \dfrac{a}{2}\)  với \(a\) là cạnh hình lập phương.

Khi đó ta có diện tích mặt cầu là:

\(S = 4\pi {R^2} = 4\pi .{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} = \pi {a^2}\)

Diện tích toàn phần của hình lập phương là:

\({S_{tp}} = 6{a^2}\)

Tỉ số giữa d iện tích mặt cậu và diện tích toàn phần của hình lập phương là:

\(\dfrac{S}{{{S_{tp}}}} = \dfrac{{\pi {a^2}}}{{6{a^2}}} = \dfrac{\pi }{6}\)

Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh hình trụ có bán kính đáy $R$ và chiều cao \(h\)  là \({S_{xq}} = 2\pi {R}h\)

Diện tích xung quanh của hình trụ là \({S_{xq}} = 2\pi {.4}.6 = 48\pi \,\left( {c{m^2}} \right).\)

Sử dụng công thức liên hệ \({R^2} + {h^2} = {l^2}\)

Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình nón \({S_{xq}} = \pi Rl\) .

Ta có đường sinh mới là: \({l'^2} = {\left( {2R} \right)^2} + {\left( {2h} \right)^2} = 4\left( {{R^2} + {h^2}} \right) = {\left( {2l} \right)^2} \)

Suy ra \(l' = 2l\)

Khi đó diện tích xung quanh mới là:

\({S'_{xq}} = \pi .\left( {2R} \right).\left( {2l} \right) = 4.\pi Rl = 4{S_{xq}}\) .

Vậy diện tích xung quanh của hình nón tăng \(4\) lần.

Sử dụng công thức thể tích khối cầu $V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}$ để tính bán kính, từ đó suy ra đường kính của mặt cầu.

Ta có:

\(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = 288\pi  \)

\({R^3} = 216\)

\(R = 6\,cm\)

Từ đó đường kính mặt cầu là \(d = 2R = 2.6 = 12\,cm\).

Sử dụng công thức diện thể tích của hình trụ $V = \pi {R^2}h$ và công thức diện tích toàn phần \({S_{tp}} = 2\pi Rh + 2\pi {R^2}\)

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương \(a,b,\,c\) là \(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(a = b = c\)

Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt  là \(R,\,\,h\,\,\left( {R > 0;\,h > 0} \right)\)

Ta có \(V = \pi {R^2}h\) suy ra \(h = \dfrac{V}{{\pi {R^2}}}\)

Diện tích toàn phần của hình trụ là:

\({S_{tp}} = 2\pi Rh + 2\pi {R^2} = 2\pi R.\dfrac{V}{{\pi {R^2}}} + 2\pi {R^2} = \dfrac{{2V}}{R} + 2\pi {R^2}\)

\( = \dfrac{V}{R} + \dfrac{V}{R} + 2\pi {R^2} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{V}{R}.\dfrac{V}{R}.2\pi {R^2}}} = 3\sqrt[3]{{2\pi {V^2}}}\) (theo bất đẳng thức Cosi)

Dấu “=” xảy ra khi \(\dfrac{V}{R} = 2\pi {R^2}\) suy ra \(R = \sqrt[3]{{\dfrac{V}{{2\pi }}}}\)

Vậy với \(R = \sqrt[3]{{\dfrac{V}{{2\pi }}}}\) thì \({S_{tp}}\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(3\sqrt[3]{{2\pi {V^2}}}\).

Sử dụng công thức tính diện tích toàn phần của hình nón \({S_{tp}} = \pi Rl + \pi {R^2}\) .

Xét tam giác \(ABC\) đều có \(AM\) vừa là đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác.

Nên ta có \(MC = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{a}{2}\) .

Khi quay tam giác $ABC$ quanh cạnh \(AM\) ta được hình nón đỉnh \(A\) , bán kính đáy là \(MC\) , đường sinh \(AC\) và chiều cao \(AM\) .

Diện tích toàn phần của hình nón là \({S_{tp}} = \pi Rl + \pi {R^2} = \pi .MC.AC + \pi .M{C^2} = \pi .\dfrac{a}{2}.a + \pi .{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} = \dfrac{{3\pi {a^2}}}{4}\) .

Công thức diện tích mặt cầu $S = 4\pi {R^2}$

Gọi \(O\) là tâm của hình chữ nhật nên $OA = OB = OC = OD$ nên \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật \(ABCD\) . Khi đó bán kính đường tròn là \(R = OA = \dfrac{{AC}}{2}\)

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ADC, ta có:

\(A{C^2} = A{D^2} + D{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25\)

suy ra \(AC = 5\) (vì \(AB = DC = 4\,cm\) )

Do đó \( R = \dfrac{5}{2}\)

Khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật \(ABCD\) quay quanh đường thẳng \(MN\) với \(M\) là trung điểm \(AD\) , \(N\) là trung điểm \(BC\) ta được một hình cầu tâm \(O\) bán kính $R = \dfrac{5}{2}$

Diện tích mặt cầu là:

\(S = 4\pi {R^2} = 4.\pi {\left( {\dfrac{5}{2}} \right)^2} = 25\pi \) \(\left( {cm} \right)\) .

Sử dụng công thức tính chu vi đường tròn đáy \(C = 2\pi R\) và công thức tính diện tích xung quanh hình nón \({S_{xq}} = \pi Rl\)  với \(R\) là bán kính đáy, \(l\)  là đường sinh của hình nón.

Gọi \(R\) là bán kính đáy và \(l\)  là đường sinh của hình nón.

Vì chu vi đáy là $48\left( {cm} \right) \Rightarrow 2\pi R = 48\, \Rightarrow R = \dfrac{{24}}{\pi }\,cm.$

Diện tích xung quanh \({S_{xq}} = \pi Rl \Leftrightarrow \pi .\dfrac{{24}}{\pi }.l = 960 \Rightarrow l = 40\,cm\)

Sử dụng  công thức

+ Thể tích hình trụ : $V = \pi {R^2}{h_1}$.

+ Thể tích hình nón : $V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}{h_2}.$

+ Thể  tích hình cầu :  \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\)

Cho ba thể tích trên  bằng nhau rồi giải hệ để tìm ${h_1};{h_2}$

+ Thể tích hình trụ : ${V_1} = \pi {R^2}{h_1}$.

+ Thể tích hình nón : ${V_2} = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}{h_2}.$

+ Thể  tích hình cầu :  \({V_3} = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\)

Ta có  ${V_1} = {V_2} = {V_3}$

Nên \(\left\{ \begin{array}{l}\pi {R^2}{h_1} = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\\\dfrac{1}{3}\pi {R^2}{h_2} = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{h_1} = \dfrac{4}{3}R\\{h_2} = 4R\end{array} \right.\)