Đề kiểm tra 45 phút chương 8: Hình trụ - Hình nón - Hình cầu - Đề số 1 — Không quảng cáo

Sử dụng công thức diện tích mặt cầu $S = 4\pi {R^2}$

Vì đường kính $d = 6\,cm$ nên bán kính hình cầu $R = \dfrac{6}{2} = 3\,\,cm$

Diện tích mặt cầu $S = 4\pi {R^2} = 4\pi {.3^2} = 36\pi \,\,\left( {c{m^2}} \right)$

Sử dụng công thức thể tich khối nón $V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h$ để tính bán kính đường tròn đáy

Sử dụng công thức liên hệ${R^2} + {h^2} = {l^2}$ để tìm đường sinh của hình nón

Sử dụng công thức tính diện tích toàn phần của hình nón ${S_{tp}} = \pi Rl + \pi {R^2}$

Ta có $V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}.10 = 1000\pi$

nên ${R^2} = 300$ suy ra $R = 10\sqrt 3$

Và ${R^2} + {h^2} = {l^2}$ hay ${10^2} + {\left( {10\sqrt 3 } \right)^2} = {l^2}$ suy ra $l = 20\,cm$

Diện tích toàn phần của hình nón là:

${S_{tp}} = \pi Rl + \pi {R^2} = \pi .10\sqrt3.20 + \pi.300= (300+200\sqrt3)\pi \,\left( {c{m^2}} \right)$

Tính đáy $BD$và $CD$ theo định lý Pytago

Sử dụng công thức diện tích xung quanh hình nón cụt ${S_{xq}} = \pi (R + r)l.$

Xét tam giác vuông $ABD$ ta có $BD = \sqrt {A{D^2} - A{B^2}}  = \sqrt {{5^2} - {3^2}}  = 4\,\,\left( {cm} \right)$

Kẻ $CH \bot BD$ tại $H$ . Khi đó $ACHB$ là hình vuông nên$CH = AB = AC = BH = 3\,cm \Rightarrow HD = 4 - 3 = 1\,cm$

Xét tam giác vuông $CHD$ ta có $C{D^2} = C{H^2} + H{D^2} = {3^2} + {1^2}=10\Rightarrow CD  = \sqrt {10}$

Khi quay hình thang vuông $ABDC$ quanh cạnh $AB$ ta được hình nón cụt có bán kính đáy nhỏ $AC$ , bán kính đáy lớn $BD$ , đường sinh $CD$ và chiều cao $AB$ .

Khi đó diện tích xung quanh hình nón cụt là ${S_{xq}} = \pi (R + r)l = \pi \left( {3 + 4} \right)\sqrt {10}  = 7\pi \sqrt {10} \,\,\left( {c{m^2}} \right)$

Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ ${S_{xq}} = 2\pi Rh$ và diện tích một đáy ${S_d} = \pi {R^2}.$

Bán kính đường tròn đáy $R = \dfrac{8}{2} = 4\,cm$  nên diện tích một đáy ${S_d} = \pi {R^2} = 16\pi \,(c{m^2})$

Ta có diện tích xung quanh của hình trụ: ${S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi .4.12 = 96\pi \,(c{m^2})$

Vì hộp sữa đã mất nắp nên diện tích các mặt của hộp sữa là:

$96\pi  + 16\pi  = 112\pi \,\left( {c{m^2}} \right).$

Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ bán kính $R$ và chiều cao $h$

${S_{xq}} = 2\pi Rh$

Diện tích xung quanh của hình trụ là ${S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi .4.5 = 40\pi \,\,\left( {c{m^2}} \right)$

Sử dụng công thức thể tích hình cầu $V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}$ và thể tích của khối trụ $V = \pi {R^2}h$

Vì đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính hình cầu nên $h = 2R$ với $R$ là bán kính hình cầu và cũng là bán kính đáy của hình trụ.

Thể tích hình cầu ${V_{cầu}} = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}$ ; thể tích khối trụ ${V_{trụ}} = \pi {R^2}.2R = 2\pi {R^3}$

Tỉ số thể tích hình cầu và thể tích hình trụ là $\dfrac{{{V_{cầu}}}}{{{V_{trụ}}}} = \dfrac{{\dfrac{4}{3}\pi {R^3}}}{{2\pi {R^3}}} = \dfrac{2}{3}$ .

Sử dụng công thức diện tích mặt cầu $S = 4\pi {R^2}$ và diện tích toàn phần của hình lập phương ${S_{tp}} = 6{a^2}$ với $a$ là độ dài cạnh của hình lập phương.

Vì hình cầu nội tiếp hình lập phương nên bán kính hình cầu $R = \dfrac{a}{2}$  với $a$ là cạnh hình lập phương.

Khi đó ta có diện tích mặt cầu là:

$S = 4\pi {R^2} = 4\pi .{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} = \pi {a^2}$

Diện tích toàn phần của hình lập phương là:

${S_{tp}} = 6{a^2}$

Tỉ số giữa d iện tích mặt cậu và diện tích toàn phần của hình lập phương là:

$\dfrac{S}{{{S_{tp}}}} = \dfrac{{\pi {a^2}}}{{6{a^2}}} = \dfrac{\pi }{6}$

Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh hình trụ có bán kính đáy $R$ và chiều cao $h$  là ${S_{xq}} = 2\pi {R}h$

Diện tích xung quanh của hình trụ là ${S_{xq}} = 2\pi {.4}.6 = 48\pi \,\left( {c{m^2}} \right).$

Sử dụng công thức liên hệ ${R^2} + {h^2} = {l^2}$

Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình nón ${S_{xq}} = \pi Rl$ .

Ta có đường sinh mới là: ${l'^2} = {\left( {2R} \right)^2} + {\left( {2h} \right)^2} = 4\left( {{R^2} + {h^2}} \right) = {\left( {2l} \right)^2}$

Suy ra $l' = 2l$

Khi đó diện tích xung quanh mới là:

${S'_{xq}} = \pi .\left( {2R} \right).\left( {2l} \right) = 4.\pi Rl = 4{S_{xq}}$ .

Vậy diện tích xung quanh của hình nón tăng $4$ lần.

Sử dụng công thức thể tích khối cầu $V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}$ để tính bán kính, từ đó suy ra đường kính của mặt cầu.

Ta có:

$V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = 288\pi$

${R^3} = 216$

$R = 6\,cm$

Từ đó đường kính mặt cầu là $d = 2R = 2.6 = 12\,cm$.

Sử dụng công thức diện thể tích của hình trụ $V = \pi {R^2}h$ và công thức diện tích toàn phần ${S_{tp}} = 2\pi Rh + 2\pi {R^2}$

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương $a,b,\,c$ là $a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}$

Dấu “=” xảy ra khi $a = b = c$

Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt  là $R,\,\,h\,\,\left( {R > 0;\,h > 0} \right)$

Ta có $V = \pi {R^2}h$ suy ra $h = \dfrac{V}{{\pi {R^2}}}$

Diện tích toàn phần của hình trụ là:

${S_{tp}} = 2\pi Rh + 2\pi {R^2} = 2\pi R.\dfrac{V}{{\pi {R^2}}} + 2\pi {R^2} = \dfrac{{2V}}{R} + 2\pi {R^2}$

$= \dfrac{V}{R} + \dfrac{V}{R} + 2\pi {R^2} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{V}{R}.\dfrac{V}{R}.2\pi {R^2}}} = 3\sqrt[3]{{2\pi {V^2}}}$ (theo bất đẳng thức Cosi)

Dấu “=” xảy ra khi $\dfrac{V}{R} = 2\pi {R^2}$ suy ra $R = \sqrt[3]{{\dfrac{V}{{2\pi }}}}$

Vậy với $R = \sqrt[3]{{\dfrac{V}{{2\pi }}}}$ thì ${S_{tp}}$ đạt giá trị nhỏ nhất là $3\sqrt[3]{{2\pi {V^2}}}$.

Sử dụng công thức tính diện tích toàn phần của hình nón ${S_{tp}} = \pi Rl + \pi {R^2}$ .

Xét tam giác $ABC$ đều có $AM$ vừa là đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác.

Nên ta có $MC = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{a}{2}$ .

Khi quay tam giác $ABC$ quanh cạnh $AM$ ta được hình nón đỉnh $A$ , bán kính đáy là $MC$ , đường sinh $AC$ và chiều cao $AM$ .

Diện tích toàn phần của hình nón là ${S_{tp}} = \pi Rl + \pi {R^2} = \pi .MC.AC + \pi .M{C^2} = \pi .\dfrac{a}{2}.a + \pi .{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} = \dfrac{{3\pi {a^2}}}{4}$ .

Công thức diện tích mặt cầu $S = 4\pi {R^2}$

Gọi $O$ là tâm của hình chữ nhật nên $OA = OB = OC = OD$ nên $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật $ABCD$ . Khi đó bán kính đường tròn là $R = OA = \dfrac{{AC}}{2}$

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ADC, ta có:

$A{C^2} = A{D^2} + D{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25$

suy ra $AC = 5$ (vì $AB = DC = 4\,cm$ )

Do đó $R = \dfrac{5}{2}$

Khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật $ABCD$ quay quanh đường thẳng $MN$ với $M$ là trung điểm $AD$ , $N$ là trung điểm $BC$ ta được một hình cầu tâm $O$ bán kính $R = \dfrac{5}{2}$

Diện tích mặt cầu là:

$S = 4\pi {R^2} = 4.\pi {\left( {\dfrac{5}{2}} \right)^2} = 25\pi$ $\left( {cm} \right)$ .

Sử dụng công thức tính chu vi đường tròn đáy $C = 2\pi R$ và công thức tính diện tích xung quanh hình nón ${S_{xq}} = \pi Rl$  với $R$ là bán kính đáy, $l$  là đường sinh của hình nón.

Gọi $R$ là bán kính đáy và $l$  là đường sinh của hình nón.

Vì chu vi đáy là $48\left( {cm} \right) \Rightarrow 2\pi R = 48\, \Rightarrow R = \dfrac{{24}}{\pi }\,cm.$

Diện tích xung quanh ${S_{xq}} = \pi Rl \Leftrightarrow \pi .\dfrac{{24}}{\pi }.l = 960 \Rightarrow l = 40\,cm$

Sử dụng  công thức

+ Thể tích hình trụ : $V = \pi {R^2}{h_1}$.

+ Thể tích hình nón : $V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}{h_2}.$

+ Thể  tích hình cầu :  $V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}$

Cho ba thể tích trên  bằng nhau rồi giải hệ để tìm ${h_1};{h_2}$

+ Thể tích hình trụ : ${V_1} = \pi {R^2}{h_1}$.

+ Thể tích hình nón : ${V_2} = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}{h_2}.$

+ Thể  tích hình cầu :  ${V_3} = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}$

Ta có  ${V_1} = {V_2} = {V_3}$

Nên $\left\{ \begin{array}{l}\pi {R^2}{h_1} = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\\\dfrac{1}{3}\pi {R^2}{h_2} = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{h_1} = \dfrac{4}{3}R\\{h_2} = 4R\end{array} \right.$