Đề kiểm tra giữa học kì 1 Toán 9 - Đề số 3 — Không quảng cáo

Ta có $\cos \widehat {MNP} = \dfrac{{MN}}{{NP}}$

Xét tam giác $ABC$  vuông tại $A.$

+ Theo định lý Pytago ta có $A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \Leftrightarrow A{C^2} = {5^2} - {3^2} \Rightarrow AC = 4cm$

+ Theo hệ  thức lượng trong tam giác vuông ta có

$A{B^2} = BH.BC \Rightarrow BH = \dfrac{{A{B^2}}}{{BC}} = \dfrac{{{3^2}}}{5} = \dfrac{9}{5} = 1,8cm$

Mà $BH + CH = BC \Rightarrow CH = BC - BH = 5 - 1,8 = 3,2\,cm.$

Lại có $AH.BC = AB.AC \Rightarrow AH = \dfrac{{AB.AC}}{{BC}} = \dfrac{{3.4}}{5} = 2,4cm$

Vậy $BH = 1,8\,cm$, $CH = 3,2\,cm$, $AC = 4\,cm$, $AH = 2,4\,cm$

Tính $x$ theo hệ thức lượng $\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}$

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

$\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}$$\Rightarrow AH = \dfrac{{AB.AC}}{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} }} = \dfrac{{15.20}}{{\sqrt {{{15}^2} + {{20}^2}} }} = 12$

Vậy $x = 12$.

Nhận thấy $ah = bc$ nên phương án C là sai.

Ta thấy $AH.BC = AB.AC$  nên D sai.

Với mọi $a,b$ ta có $\sqrt[3]{a} > \sqrt[3]{b} \Leftrightarrow a > b;$$a \ge b \Leftrightarrow \sqrt[3]{a} \ge \sqrt[3]{b};a < b \Leftrightarrow \sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b}$

Suy ra A,B,C đúng, D sai.

Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt {ab}  = \sqrt a .\sqrt b$

Ta có: $\sqrt {2018} .\sqrt {2019}  = \sqrt {2018.2019}$

-Sử dụng công thức khai phương một tích  $\sqrt {AB}  = \sqrt A .\sqrt B ,\,\,\left( {A,B \ge 0} \right)$ đưa biểu thức về các căn thức cùng loại (cùng biểu thức dưới dấu căn).

-Cộng trừ các căn thức

$\sqrt {32}  + \sqrt {50}  - 3\sqrt 8  - \sqrt {18}$$= \sqrt {16.2}  + \sqrt {25.2}  - 3\sqrt {4.2}  - \sqrt {9.2}$

$= 4\sqrt 2  + 5\sqrt 2  - 6\sqrt 2  - 3\sqrt 2  = 0$

Sử dụng điều kiện để $\sqrt A$ có nghĩa. Ta có $\sqrt A$ có nghĩa khi $A \ge 0$.

Ta có: $\sqrt {125 - 5x}$ có nghĩa khi

$125 - 5x \ge 0 \\ 5x \le 125 \\ x \le 25$.

Sử dụng công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn: Với hai biểu thức $A,B$ mà $B \ge 0$, ta có $\sqrt {{A^2}B}  = \left| A \right|\sqrt B  = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,{\rm{khi}}\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,{\rm{khi}}\,A < 0\end{array} \right.$

Ta có $\sqrt {81{{\left( {2 - y} \right)}^4}}  = \sqrt {81.{{\left[ {{{\left( {2 - y} \right)}^2}} \right]}^2}}  = \left| {{{\left( {2 - y} \right)}^2}} \right|\sqrt {81}  = 9{\left( {2 - y} \right)^2}$

+ Kẻ đường cao $AH.$

+ Tính $HB$ dựa vào quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông

+ Lập luận dựa vào tính chất tam giác cân để tính cạnh đáy $BC.$

Kẻ $AH \bot BC$ tại $H.$ Suy ra $H$ là trung điểm của $BC$  (do tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $AH$ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến)

Xét tam giác $AHB$ vuông tại $H$ có $\cos \widehat {ABH} = \dfrac{{BH}}{{AB}} \Rightarrow BH = AB.\cos \widehat {ABH}$$= 20.\cos 50^\circ$

Mà $H$ là trung điểm của $BC$ nên $BC = 2BH = 2.2.\cos 50^0\approx 25,7\,cm$

Vậy $BC \approx 25,7\,cm.$

Ta có độ dài của mặt cầu trượt  là $AB$; $AC = 2,1\,m$ và $\widehat {ABC} = 28^\circ$

Xét tam giác $ACB$ vuông tại $A$ có

$BC = AB:\sin B = 2,1:\sin 28^\circ  \simeq 4,47\,m$

Vậy độ dài của mặt cầu trượt  là $4,47\,m.$

Xét tam giác  $ABC$ vuông tại $A$ có

$\tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow AB = AC.\tan C = 10.\tan 30^\circ  = \dfrac{{10\sqrt 3 }}{3}$; $\cos C = \dfrac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow BC = \dfrac{{AC}}{{\cos C}} = \dfrac{{10}}{{\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{20\sqrt 3 }}{3}$

Vậy $AB = \dfrac{{10\sqrt 3 }}{3};BC = \dfrac{{20\sqrt 3 }}{3}$.

Sử dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông

Cạnh góc vuông = tích cạnh góc vuông còn lại với tan góc đối.

Ta có chiều cao  cột đèn là $AC$; $AB = 6\,m$ và $\widehat {ACB} = 38^\circ$

Xét tam giác $ACB$ vuông tại $A$ có

$AC = AB.\tan B = 6.\tan 38^\circ  \approx 4,69\,\,m$

Vậy cột đèn cao $4,69\,m$

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , đường cao $AH$ . Khi đó ta có hệ thức $H{A^2} = HB.HC$

Sử dụng công thức : Với $A > 0$ và $A \ne {B^2}$ thì $\dfrac{C}{{\sqrt A  \pm B}} = \dfrac{{C(\sqrt A  \mp B)}}{{A - {B^2}}}$

Ta có $\dfrac{4}{{\sqrt 3  + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt 3  - 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt 3  - 3}}$$= \dfrac{{4\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}} + \dfrac{{1\left( {\sqrt 3  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt 3  + 2} \right)\left( {\sqrt 3  - 2} \right)}} + \dfrac{{6\left( {\sqrt 3  + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt 3  + 3} \right)\left( {\sqrt 3  - 3} \right)}}$

$= \dfrac{{4\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} - {1^2}}} + \dfrac{{\sqrt 3  + 2}}{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} - {2^2}}} + \dfrac{{6\left( {\sqrt 3  + 3} \right)}}{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} - {3^2}}}$ $= \dfrac{{4\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}}{{3 - 1}} + \dfrac{{\sqrt 3  + 2}}{{3 - 4}} + \dfrac{{6\left( {\sqrt 3  + 3} \right)}}{{3 - 9}}$

$= \dfrac{{4\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}}{2} + \dfrac{{\sqrt 3  + 2}}{{\left( { - 1} \right)}} + \dfrac{{6\left( {\sqrt 3  + 3} \right)}}{{\left( { - 6} \right)}}$ $= 2\left( {\sqrt 3  - 1} \right) - \sqrt 3  - 2 - \sqrt 3  - 3 =  - 7.$

Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|$ và cách so sánh hai căn bậc hai.

- Với $A,B$ không âm ta có $A < B$ hay $\sqrt A  < \sqrt B$ nên C đúng, D sai.

- Ta có hằng đẳng thức  $\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}\,\,\,\,A\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A < 0\end{array} \right.$ nên A, B sai.

Ta có $\sin P = \dfrac{{MN}}{{MP}} \Rightarrow MN = MP.\sin P$.

Đưa phương trình chứa căn về dạng $\sqrt A  = B$ và sử dụng cách giải

$\sqrt A  = B \\ \left\{ \begin{array}{l}B \ge 0\\A = {B^2}\end{array} \right.$.

Điều kiện: $2x \ge 0$ hay $x \ge 0$

Ta có:

$5\sqrt {2x}  - 125 = 0 \\ 5\sqrt {2x}  = 125 \\ \sqrt {2x}  = 25$ mà $25 > 0$ nên

$\sqrt {2x}  = 25 \\ 2x = {25^2} \\ 2x = 625 \\ x = \dfrac{{625}}{2}$ (thỏa mãn).

Vậy $x = \dfrac{{625}}{2}$.

Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt {ab}  = \sqrt a .\sqrt b$

Sử dụng công thức khai phương một thương: Với số $a$ không âm và số $b$ dương, ta có $\sqrt {\dfrac{a}{b}}  = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$.

Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|$

Ta có: $\dfrac{{{a^2}}}{{11}}.\sqrt {\dfrac{{121}}{{{a^4}{b^{10}}}}}$$\dfrac{{{a^2}}}{{11}}.\dfrac{{\sqrt {121} }}{{\sqrt {{a^4}} .\sqrt {{b^{10}}} }} = \dfrac{{{a^2}}}{{11}}.\dfrac{{\sqrt {{{11}^2}} }}{{\sqrt {{{\left( {{a^2}} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {{b^5}} \right)}^2}} }} = \dfrac{{{a^2}}}{{11}}.\dfrac{{11}}{{{a^2}.\left| {{b^5}} \right|}} = \dfrac{1}{{\left| {{b^5}} \right|}}$.

Sử dụng công thức

Với các biểu thức $A,B,C$ mà $A \ge 0,B \ge 0,A \ne B$ ta có:

$\dfrac{C}{{\sqrt A  - \sqrt B }} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A  + \sqrt B } \right)}}{{A - B}}$; $\dfrac{C}{{\sqrt A  + \sqrt B }} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A  - \sqrt B } \right)}}{{A - B}}$

Ta có: $\dfrac{4}{{3\sqrt x  + 2\sqrt y }}$$= \dfrac{{4\left( {3\sqrt x  - 2\sqrt y } \right)}}{{\left( {3\sqrt x  + 2\sqrt y } \right)\left( {3\sqrt x  - 2\sqrt y } \right)}} = \dfrac{{4\left( {3\sqrt x  - 2\sqrt y } \right)}}{{{{\left( {3\sqrt x } \right)}^2} - {{\left( {2\sqrt y } \right)}^2}}} = \dfrac{{12\sqrt x  - 8\sqrt y }}{{9x - 4y}}$

Với $B \ge 0$, ta có $\sqrt {{A^2}.B}  = \left| A \right|\sqrt B  = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,\,\,khi\,\,\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..$

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,2\sqrt {8\sqrt 3 }  - 2\sqrt {5\sqrt 3 }  - 3\sqrt {20\sqrt 3 } \\ = 2\sqrt {4.2} .\sqrt {\sqrt 3 }  - 2\sqrt 5 .\sqrt {\sqrt 3 }  - 3\sqrt {4.5} .\sqrt {\sqrt 3 } \\ = 2.2\sqrt 2 \sqrt {\sqrt 3 }  - 2\sqrt 5 \sqrt {\sqrt 3 }  - 3.2.\sqrt 5 .\sqrt {\sqrt 3 } \\ = 4\sqrt {2\sqrt 3 }  - \left( {2 + 3.2} \right)\sqrt 5 \sqrt {\sqrt 3 } \\ = 4\sqrt {2\sqrt 3 }  - 8\sqrt {5\sqrt 3 } \end{array}$

- Khử mẫu biểu thức lấy căn theo công thức $\sqrt {\dfrac{A}{B}}  = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{B}\,\left( {A \ge 0,B > 0} \right)$

- Sử dụng công thức khai phương một thương $\sqrt {\dfrac{A}{B}}  = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}$ với $A \ge 0,B > 0$ và công thức khai phương một tích  $\sqrt {AB}  = \sqrt A .\sqrt B ,\,\,\left( {A,B \ge 0} \right)$

- Cộng trừ các căn thức bậc hai.

$3\sqrt {8a}  + \dfrac{1}{4}\sqrt {\dfrac{{32a}}{{25}}}  - \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}.\sqrt {\dfrac{3}{{2a}}}  - \sqrt {2a}$ $= 3\sqrt {4.2a}  + \dfrac{1}{4}\dfrac{{\sqrt {16.2a} }}{{\sqrt {25} }} - \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt {2a} }} - \sqrt {2a}$ $= 3.2\sqrt {2a}  + \dfrac{1}{4}.\dfrac{{4\sqrt {2a} }}{5} - \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}.\dfrac{{\sqrt 3 .\sqrt {2a} }}{{2a}} - \sqrt {2a}$ $= 6\sqrt {2a}  + \dfrac{1}{5}\sqrt {2a}  - \dfrac{1}{2}\sqrt {2a}  - \sqrt {2a}$

$= \sqrt {2a} .\left( {6 + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{2} - 1} \right) = \dfrac{{47}}{{10}}\sqrt {2a}$

Cho $A = \dfrac{{\sqrt x  - 1}}{2}$

Giải phương trình chứa căn bằng cách quy đồng mẫu số, đưa phương trình về dạng chứa căn cơ bản đã biết.

Với $x \ge 0;x \ne 4$ ta có: $A = \dfrac{{\sqrt x  - 1}}{2} \\ \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 2}} = \dfrac{{\sqrt x  - 1}}{2}$

$\Rightarrow 2\left( {\sqrt x  + 1} \right) = \left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right) \\ 2\sqrt x  + 2 = x - 3\sqrt x  + 2$

$\\ x - 5\sqrt x  = 0 \\ \sqrt x \left( {\sqrt x  - 5} \right) = 0 \\ \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  = 0\\\sqrt x  = 5\end{array} \right. \\ \left[ \begin{array}{l}x = 0\left( {tm} \right)\\x = 25\left( {tm} \right)\end{array} \right.$

Vậy giá trị cần tìm là $x = 0;x = 25$.

- Áp dụng $\sqrt[3]{x} = a$ thì $x = {a^3}$

Ta có $\sqrt[3]{{3x - 2}} =  - 2$

$3x - 2 = {\left( { - 2} \right)^3} \\ 3x - 2 =  - 8 \\ 3x =  - 6 \\ x =  - 2$

Do đó nghiệm của phương trình là một số nguyên âm.

- Đưa biểu thức dưới dấu căn về hằng đẳng thức ${\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}$

-Áp dụng $\sqrt[3]{{{a^3}}} = a$

Ta có $\sqrt[3]{{{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1}} - \sqrt[3]{{8{x^3} + 12{x^2} + 6x + 1}}$$= \sqrt[3]{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} - \sqrt[3]{{{{\left( {2x + 1} \right)}^3}}}$

$= x + 1 - 2x - 1 =  - x$.

+ Tìm điều kiện

+ Giải phương trình dạng $\sqrt A  = B\,\left( {B \ge 0} \right) \Leftrightarrow A = {B^2}$

Điều kiện:

$x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2.$

Ta có: $\sqrt {2{x^2} - 4x + 5}  = x - 2$$\Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + 5 = {\left( {x - 2} \right)^2}$

$\Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + 5 = {x^2} - 4x + 4 \Leftrightarrow {x^2} + 1 = 0$ $\Leftrightarrow {x^2} =  - 1\,$ (vô nghiệm vì ${x^2} \ge 0\,\,\forall x$ )

Vậy phương trình vô nghiệm.

+  Tìm điều kiện

+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi qui đồng mẫu các phân thức

+ Từ đó rút gọn biểu thức

+ Xét hiệu $P - 3$ rồi so sánh hiệu đó với $0$  để so sánh $P$  với $3.$

Điều kiện xác định: $x \ne 1;x > 0$

$\begin{array}{l}P = 1:\left( {\dfrac{{x + 2}}{{x\sqrt x  - 1}} + \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{x + \sqrt x  + 1}} - \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{x - 1}}} \right)\\ = 1:\left( {\dfrac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}} + \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}} \right)\\ = 1:\dfrac{{\left( {x + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right) + {{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x  - 1} \right) - \left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}\end{array}$

$= 1:\dfrac{{x\sqrt x  + x + 2\sqrt x  + 2 + x\sqrt x  + x - \sqrt x  - 1 - \left( {x\sqrt x  + x + \sqrt x  + x + \sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}$

$\begin{array}{l} = \dfrac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}{{x\sqrt x  - \sqrt x }}\\ = \dfrac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\\ = \dfrac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}\end{array}$

Vậy $P = \dfrac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}$  với $x \ne 1;x > 0$

+ So sánh $P$ với $3.$

Xét $P - 3 = \dfrac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }} - 3 = \dfrac{{x + \sqrt x  + 1 - 3\sqrt x }}{{\sqrt x }} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x }}$

Với $x \ne 1;x > 0$ ta có: $\sqrt x  > 0$; $\sqrt x \ne 1$ nên ${\left( {\sqrt x  - 1} \right)^2} > 0$ suy ra: $P-3 > 0$ hay $P > 3$

+) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính $BH$.

+) Tính $HM = BM - BH$.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $ABC:\,\,BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5\,\,\left( {cm} \right)$.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABC:\,\,A{B^2} = BC.BH \Rightarrow BH = \dfrac{{A{B^2}}}{{BC}} = \dfrac{9}{5}\,\,\left( {cm} \right)$.

$M$ là trung điểm của $BC \Rightarrow BM = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{5}{2}\,\,\left( {cm} \right)$.

Vậy $\Rightarrow HM = BM - BH = \dfrac{7}{{10}}\,\,\left( {cm} \right)$

Bước 1: Tính cạnh cần thiết lại theo định lý Pytago hoặc hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Bước 2: Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn. Sử dụng hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia.

Xét tam giác $AHC$ vuông tại $H$, theo định lý Pytago ta có

$A{H^2} = A{C^2} - C{H^2} = {15^2} - {6^2} = 189 \Rightarrow AH = 3\sqrt {21}$

$\Rightarrow \sin C = \dfrac{{AH}}{{AC}} = \dfrac{{3\sqrt {21} }}{{15}} = \dfrac{{\sqrt {21} }}{5}$

Mà tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $\widehat B,\widehat C$ là hai góc phụ nhau. Do đó $\cos B = \sin C = \dfrac{{\sqrt {21} }}{5}.$

Bước 1: Tính cạnh cần thiết lại theo định lý Pytago hoặc hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Bước 2: Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $BC = BH + CH = 7\,\,cm$

theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có $A{C^2} = CH.BC \Rightarrow A{C^2} = 4.7 \Rightarrow AC \approx 5,29\,\,cm$

$\Rightarrow \cos C = \dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{{5,29}}{7} \approx 0,76$.

Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.

Sử dụng tính chất tam giác cân.

Sử dụng định lý tổng ba góc trong một tam giác.

Vì $\Delta ABC$ là tam giác cân tại $A$$\Rightarrow \angle C = \angle B = {65^0}$

Ta có $\angle A + \angle B + \angle C = {180^0}$(định lý tổng ba góc trong một tam giác)

$\Rightarrow \angle A = {180^0} - 2\angle C = {180^0} - {2.65^0} = {50^0}$

Xét $\Delta ACH$ vuông tại $H$ ta có:

$\sin A = \dfrac{{CH}}{{AC}}$ $\Leftrightarrow \sin {50^0} = \dfrac{{3,6}}{{AC}}$$\Rightarrow AC = \dfrac{{3,6}}{{\sin {{50}^0}}} \approx 4,7$

Vì $\Delta ABC$ là tam giác cân tại $A$$\Rightarrow AC = AB \approx 4,7$

Xét $\Delta BCH$ vuông tại $H$ ta có:

$\sin B = \dfrac{{CH}}{{BC}} \Leftrightarrow \sin {65^0} = \dfrac{{3,6}}{{BC}}$$\Rightarrow BC = \dfrac{{3,6}}{{\sin {{65}^0}}} \approx 3,97$

Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.

Sử dụng tính chất hình chữ nhật.

Công thức tính diện tích hình thang vuông: ${S_{ABCD}} = \dfrac{{\left( {AB + CD} \right).AD}}{2}.$

Kẻ $BE \bot DC,\,\,\,E \in CD.$

Xét tứ giác $ABED$ có $\angle A = \angle D = \angle E = {90^0}$

$\Rightarrow ABED$ là hình chữ nhật $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = ED = 2\\AD = BE = 1,2\end{array} \right.$

Xét $\Delta BCE$ vuông tại $E$ ta có: $EC = BE.cot\angle C = 1,2.cot{50^0}$

$\Rightarrow DC = DE + EC = 2 + 1,2.\cot {50^0}$

$\Rightarrow {S_{ABCD}} = \dfrac{{\left( {AB + CD} \right)AD}}{2}$$= \dfrac{{\left( {2 + 2 + 1,2.\cot {{50}^0}} \right).1,2}}{2} \approx 3\,\,\,\,\left( {đvdt} \right).$

Độ cao của máy bay là $CD$, độ dài $AB = 100\,m$. Đào đứng ở $A$ , Mai đứng ở $B$ .

Gọi $AD = x\left( {0 < x < 100} \right) \Rightarrow BD = 150 - x$

Xét $\Delta ACD$ vuông tại $D$ ta có $CD = AD.\cot A = x.\cot 45^\circ  = x$

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $D$ ta có $CD = BD.{\mathop{\rm cotB}\nolimits}  = \left( {150 - x} \right).\cot 35^\circ$

Nên $x = \left( {150 - x} \right)\cot 35^\circ  \Rightarrow x \approx 88,22$ (thoả mãn)

$\Rightarrow CD = x = 88,22m$

Vậy độ cao của diều  lúc đó so với mặt đất là $88,22\,m$.

Sử dụng: $\dfrac{1}{{k\sqrt {k - 1}  + \left( {k - 1} \right)\sqrt k }}$$= \dfrac{1}{{\sqrt {k - 1} }} - \dfrac{1}{{\sqrt k }}$

Ta có: $k\sqrt {k - 1}  + \left( {k - 1} \right)\sqrt k \, = \sqrt {k\left( {k - 1} \right)} \left( {\sqrt k  + \sqrt {k - 1} } \right)$ với $k \ge 1$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{{k\sqrt {k - 1}  + \left( {k - 1} \right)\sqrt k }} \\= \dfrac{1}{{\sqrt {k\left( {k - 1} \right)} \left( {\sqrt k  + \sqrt {k - 1} } \right)}} \\= \dfrac{{\left( {\sqrt k  - \sqrt {k - 1} } \right)}}{{\sqrt {k\left( {k - 1} \right)} \left( {\sqrt k  + \sqrt {k - 1} } \right)\left( {\sqrt k  - \sqrt {k - 1} } \right)}}\\ = \dfrac{{\sqrt k  - \sqrt {k - 1} }}{{\sqrt {k\left( {k - 1} \right)} }} \\= \dfrac{{\sqrt k  - \sqrt {k - 1} }}{{\sqrt k .\sqrt {k - 1} }} \\= \dfrac{1}{{\sqrt {k - 1} }} - \dfrac{1}{{\sqrt k }}\end{array}$

Thay lại vào A ta được:

$A = \dfrac{1}{{2\sqrt 1  + 1\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{3\sqrt 2  + 2\sqrt 3 }}$$+ ... + \dfrac{1}{{2018\sqrt {2017}  + 2017\sqrt {2018} }}$$= \,\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 1 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)$$+ ..... + \left( {\dfrac{1}{{\sqrt {2017} }} - \dfrac{1}{{\sqrt {2018} }}} \right)$$= 1 - \dfrac{1}{{\sqrt {2018} }}$

Tách $\angle AOC = \angle AOB - \angle COD$. Áp dụng công thức cộng lượng giác và Pitago để tính $\cos \angle AOC$

Xét $\Delta OAB$ và $\Delta COD$ có:

$\begin{array}{l}\angle OBA = \angle CDO = {90^o}\,\,\,\,\left( {gt} \right)\\OB = CD\,\,\,\left( {gt} \right)\\AB = OD\,\,\,\,\left( {gt} \right)\\ \Rightarrow \Delta OAB = \Delta COD\,\,\,\left( {c - g - c} \right)\end{array}$

$\Rightarrow OA = OC$ (2 cạnh tương ứng)

$\Rightarrow OA.OC = O{A^2} = O{B^2} + A{B^2} = {a^2} + {b^2}$ (Định lý Pytago)

$\begin{array}{l}\cos \angle AOC = \cos \left( {\angle AOB - \angle COD} \right) = \cos \angle AOB\cos \angle COD + \sin \angle AOB\sin \angle COD\\ = \dfrac{{OB}}{{OA}}.\dfrac{{OD}}{{OC}} + \dfrac{{AB}}{{OA}}.\dfrac{{CD}}{{OC}} = \dfrac{{OB.OD + AB.CD}}{{OA.OC}} = \dfrac{{ab + ab}}{{{a^2} + {b^2}}} = \dfrac{{2ab}}{{{a^2} + {b^2}}}.\end{array}$

-  Áp dụng: $\dfrac{1}{{\sqrt a  + \sqrt b }} = \dfrac{{\sqrt a  - \sqrt b }}{{a - b}}$ với $a , b>0$

Ta có:

$A = \dfrac{1}{{1 + \sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3  + \sqrt 5 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 5  + \sqrt 7 }}$$+ ... + \dfrac{1}{{\sqrt {2019}  + \sqrt {2021} }}$$= \dfrac{{\sqrt 3  - 1}}{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}}$$+ \dfrac{{\sqrt 5  - \sqrt 3 }}{{\left( {\sqrt 3  + \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 5  - \sqrt 3 } \right)}}$$+ ....... + \dfrac{{\sqrt {2021}  - \sqrt {2019} }}{{\left( {\sqrt {2019}  + \sqrt {2021} } \right)\left( {\sqrt {2021}  - \sqrt {2019} } \right)}}$$= \dfrac{{\sqrt 3  - 1}}{{3 - 1}} + \dfrac{{\sqrt 5  - \sqrt 3 }}{{5 - 3}}$$+ ....... + \dfrac{{\sqrt {2021}  - \sqrt {2019} }}{{2021 - 2019}}$$= \dfrac{{\sqrt 3  - 1}}{2} + \dfrac{{\sqrt 5  - \sqrt 3 }}{2}$$+ ...... + \dfrac{{\sqrt {2021}  - \sqrt {2019} }}{2}$$= \dfrac{{\sqrt 3  - 1 + \sqrt 5  - \sqrt 3  + ....... + \sqrt {2021}  - \sqrt {2019} }}{2}$$= \dfrac{{\sqrt {2021}  - 1}}{2}$

Đặt $AM = x\,\left( {x > 0} \right)$  rồi dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông để tìm ra phương trình ẩn $x.$

Giải phương trình ta tìm được $x.$ Từ đó tính $AH,BC \Rightarrow {S_{ABC}}.$

Đặt $AM = x\,\left( {x > 0;cm} \right) \Rightarrow BC = 2x\,\left( {cm} \right);AH = x - 7\,\left( {cm} \right)$

Vì chu vi tam giác $ABC$ là $72cm$ nên $AB + AC + BC = 72 \Rightarrow AB + AC = 72 - 2x\,\left( {cm} \right)$

Theo các hệ thức trong tam giác vuông:

$A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} = 4{x^2}\,\,\left( 1 \right)$ ; $AB.AC = BC.AH = 2x\left( {x - 7} \right)\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right);\left( 2 \right)$ suy ra $A{B^2} + A{C^2} + 2AB.AC = 4{x^2} + 4x\left( {x - 7} \right)$

$\Leftrightarrow {\left( {AB + AC} \right)^2} = 8{x^2} - 28x \Leftrightarrow {\left( {72 - 2x} \right)^2} = 8{x^2} - 28x$

Đưa về phương trình ${x^2} + 65x - 1296 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 16} \right)\left( {x + 81} \right) = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 16\,\,\left( N \right)\\x =  - 81\,\,\left( L \right)\end{array} \right.$

Từ đó $BC = 32\,cm;\,AH = 9\,cm.$ Khi đó ${S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.32.9 = 144\,\,\left( {c{m^2}} \right)$

Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác vuông

Theo đề bài ta có: $AB = 2a \Rightarrow OA = OB = a$

Ta có: $\widehat {ONB} = \widehat {AOM} = \alpha$ (cùng phụ với $\widehat {BON}$ )

Xét $\Delta AOM$ có $\widehat A = 90^\circ$ Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có:

$OA = OM.\cos \alpha  \Rightarrow OM = \dfrac{a}{{\cos \alpha }}$ Xét $\Delta BON$ có $\widehat B = 90^\circ$ Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có:

$OB = ON.\sin \alpha  \Rightarrow ON = \dfrac{a}{{\sin \alpha }}$ Vậy diện tích tam giác $MON$  là: $\dfrac{1}{2}OM.ON = \dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{{\cos \alpha }}.\dfrac{a}{{\sin \alpha }} = \dfrac{{{a^2}}}{{2\sin \alpha .\cos \alpha }}$

- Chia tử thức cho mẫu thức được $A = \sqrt x  + \dfrac{4}{{\sqrt x }} + 1$

- Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương $\sqrt x$ và $\dfrac{4}{{\sqrt x }}$

Với $x > 0$ ta có:  $A = \dfrac{{x + \sqrt x  + 4}}{{\sqrt x }}$$= \dfrac{x}{{\sqrt x }} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x }} + \dfrac{4}{{\sqrt x }}$$= \sqrt x  + \dfrac{4}{{\sqrt x }} + 1$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương $\sqrt x$ và $\dfrac{4}{{\sqrt x }}$ ta được:

$\sqrt x  + \dfrac{4}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\dfrac{4}{{\sqrt x }}}  = 2.2 = 4$$\Rightarrow \sqrt x  + \dfrac{4}{{\sqrt x }} + 1 \ge 5$

Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt x  = \dfrac{4}{{\sqrt x }} \Leftrightarrow x = 4\,\,\,\left( {tm} \right)$

Vậy GTNN của $A$ là $5$ khi $x = 4$