Processing math: 79%

Đề kiểm tra giữa học kì 1 Toán 9 - Đề số 2 — Không quảng cáo

Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 9


Đề kiểm tra giữa học kì 1 Toán 9 - Đề số 2

Đề bài

Câu 1 :

Cho tam giác MNP vuông tại M. Khi đó cos^MNP bằng

  • A.

    MNNP

  • B.

    MPNP

  • C.

    MNMP

  • D.

    MPMN

Câu 2 :

Một cột đèn có bóng trên mặt đất dài 7,5m. Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng 420. Tính chiều cao của cột đèn. (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba)

  • A.

    6,753m

  • B.

    6,75m

  • C.

    6,751m

  • D.

    6,755m

Câu 3 :

Chọn câu đúng nhất. Nếu α là một góc nhọn bất kỳ, ta có

  • A.

    sin2α+cos2α=1

  • B.

    tanα.cotα=1

  • C.

    tanα=sinαcosα

  • D.

    Cả A, B, C đều đúng

Câu 4 :

Cho B=22+132231C=(23527+412):3. Chọn đáp án đúng.

  • A.

    B>C

  • B.

    B<C

  • C.

    B=C

  • D.

    B=C

Câu 5 :

Cho các biểu thức A,BA.B0;B>0, khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A.

    AB=ABB

  • B.

    AB=ABB

  • C.

    AB=AB

  • D.

    AB=ABB

Câu 6 :

Cho tam giác ABC  vuông tại A có AB=21cm;  ˆC=40 , phân giác BD  (D  thuộc AC ). Độ dài phân giác BD là (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

  • A.

    21,3cm

  • B.

    24cm

  • C.

    22,3cm

  • D.

    23,2cm

Câu 7 :

Cho α là góc nhọn bất kỳ. Chọn khẳng định đúng.

  • A.

    sinα+cosα=1

  • B.

    sin2α+cos2α=1

  • C.

    sin3α+cos3α=1

  • D.

    sinαcosα=1

Câu 8 :

Cho hình vẽ, tìm x.

  • A.

    x=0,75

  • B.

    x=4,5

  • C.

    x=43

  • D.

    x=4

Câu 9 :

Khẳng định nào sau đây là đúng ?

  • A.

    2018+2019=2018+2019

  • B.

    2018.2019=20182019

  • C.

    2018.2019=2018.2019

  • D.

    2018.2019=20192018

Câu 10 :

Giá trị của biểu thức 32+503818

  • A.

    1

  • B.

    0

  • C.

    2

  • D.

    3

Câu 11 :

Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH (như hình vẽ). Hệ thức nào sau đây là đúng ?

  • A.

    AH2=AB.AC

  • B.

    AH2=BH.CH

  • C.

    AH2=AB.BH

  • D.

    AH2=CH.BC

Câu 12 :

Tính x trong hình vẽ sau:

  • A.

    x=14

  • B.

    x=13

  • C.

    x=12

  • D.

    x=145

Câu 13 :

Tìm các số x không âm thỏa mãn x3

  • A.

    x9

  • B.

    x<9

  • C.

    x>9

  • D.

    x9

Câu 14 :

So sánh hai số 5502.

  • A.

    5>502

  • B.

    5=502

  • C.

    5<502

  • D.

    Chưa đủ điều kiện để so sánh.

Câu 15 :

So sánh hai số 9788

  • A.

    88<97

  • B.

    88=97

  • C.

    8897

  • D.

    97<88

Câu 16 :

Tìm điều kiện của x để căn thức 1x1 có nghĩa.

  • A.

    x1

  • B.

    x<1

  • C.

    x>1

  • D.

    x=1

Câu 17 :

Rút gọn biểu thức

a2+8a+16+a28a+16 với 4a4 ta được

  • A.

    2a

  • B.

    8

  • C.

    8

  • D.

    2a

Câu 18 :

Giá trị của biểu thức  252700+1008448 là:

  • A.

    7

  • B.

    0

  • C.

    47

  • D.

    57

Câu 19 :

Rút gọn biểu thức  5a4b25a3+5a16ab29a với a0;b0 ta được kết quả là

  • A.

    22a

  • B.

    4a

  • C.

    8a

  • D.

    2a

Câu 20 :

Sau khi rút gọn biểu thức 27+35+2735 là phân số tối giản ab,(a,bZ). Khi đó a+b có giá trị là:

  • A.

    28

  • B.

    7

  • C.

    8

  • D.

    14

Câu 21 :

Cho P=x+3x2 với x0;x4. Có bao nhiêu giá trị xZ để PZ.

  • A.

    3

  • B.

    2

  • C.

    0

  • D.

    4

Câu 22 :

Cho biểu thức A=x+1x2 với x0;x4. Tìm các giá trị của x biết A=x12 .

  • A.

    x=0;x=5

  • B.

    x=0

  • C.

    x=0;x=25

  • D.

    x=5;x=1

Câu 23 :

Giải phương trình 2x24x+5=x2  ta được nghiệm là

  • A.

    x=1

  • B.

    x=3

  • C.

    x=2

  • D.

    Phương trình vô nghiệm

Câu 24 :

Rút gọn biểu thức:B=xx4+1x2+1x+2 với x0;x4.

  • A.

    B=xx+2

  • B.

    B=xx2

  • C.

    B=xx2

  • D.

    B=2xx2

Câu 25 :

Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH. Cho biết AB:AC=3:4 AH=6cm. Tính độ dài các đoạn thẳng CH.

  • A.

    CH=8

  • B.

    CH=6

  • C.

    CH=10

  • D.

    CH=12

Câu 26 :

Cho tam giác ABC vuông tại  AAB=5cm,cotC=78 . Tính độ dài các đoạn thẳng ACBC . (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2 )

  • A.

    AC4,39(cm);BC6,66(cm)

  • B.

    AC4,38(cm);BC6,64(cm)

  • C.

    AC4,38(cm);BC6,67(cm)

  • D.

    AC4,37(cm);BC6,67(cm)

Câu 27 :

Cho α là góc nhọn bất kỳ. Biểu thức Q=1+sin2α1sin2α bằng

  • A.

    Q=1+tan2α

  • B.

    Q=1+2tan2α

  • C.

    Q=12tan2α

  • D.

    Q=2tan2α

Câu 28 :

Nhà bạn Vũ có một chiếc thang dài 3,5m. Cần đặt chân thang cách chân tường một khoảng cách bằng bao nhiêu để nó tạo được với mặt đất một góc “an toàn” là 620 (tức là đảm bảo thang không bị đổ khi sử dụng). (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

  • A.

    1,65m

  • B.

    1,64m

  • C.

    1,68m

  • D.

    1,69m

Câu 29 :

Tính số đo góc nhọn x,  biết: cos2xsin2x=12

  • A.

    45

  • B.

    30

  • C.

    60

  • D.

    90

Câu 30 :

Cho ΔABC vuông tại  A. Biết ABAC=57. Đường cao AH=15cm. Tính HC.

  • A.

    15747

  • B.

    374cm

  • C.

    22cm

  • D.

    21cm

Câu 31 :

Cho A=2xx+3x+2+5x+1x+4x+3+x+10x+5x+6  với x0. Chọn đáp án đúng.

  • A.

    A=2x

  • B.

    Giá trị của A không phụ thuộc vào biến x.

  • C.

    A=3(x+2)

  • D.

    A=2x+1

Câu 32 :

Giả sử a;b;c là các số thực dương. Chọn câu đúng.

  • A.

    1+a2+1+b2+1+c22(a+b+b+c+c+a)

  • B.

    1+a2+1+b2+1+c22(a+b+b+c+c+a)

  • C.

    1+a2+1+b2+1+c2a+b+b+c+c+a

  • D.

    1+a2+1+b2+1+c2a+b+b+c+c+a

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Cho tam giác MNP vuông tại M. Khi đó cos^MNP bằng

  • A.

    MNNP

  • B.

    MPNP

  • C.

    MNMP

  • D.

    MPMN

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Ta có cos^MNP=MNNP

Câu 2 :

Một cột đèn có bóng trên mặt đất dài 7,5m. Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng 420. Tính chiều cao của cột đèn. (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba)

  • A.

    6,753m

  • B.

    6,75m

  • C.

    6,751m

  • D.

    6,755m

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Ta có chiều cao  cột đèn là AC; AB=7,5m^ACB=42

Xét tam giác ACB vuông tại A

AC=AB.tanB=7,5.tan426,753m

Vậy cột đèn cao 6,753m

Câu 3 :

Chọn câu đúng nhất. Nếu α là một góc nhọn bất kỳ, ta có

  • A.

    sin2α+cos2α=1

  • B.

    tanα.cotα=1

  • C.

    tanα=sinαcosα

  • D.

    Cả A, B, C đều đúng

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Nếu α là một góc nhọn bất kỳ  thì  sin2α+cos2α=1;tanα.cotα=1

tanα=sinαcosα;cotα=cosαsinα  nên cả A, B, C đều đúng

Câu 4 :

Cho B=22+132231C=(23527+412):3. Chọn đáp án đúng.

  • A.

    B>C

  • B.

    B<C

  • C.

    B=C

  • D.

    B=C

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Tính B;C  bằng cách sử dụng các công thức

Với A>0AB2 thì CA±B=C(AB)AB2

Khai phương một tích: A.B=A.B(A0,B0)

+ So sánh B;C.

Lời giải chi tiết :

Ta có B=22+132231

=222.2+3+2(32)(3+2)2(3+1)(31)(3+1)

=222+3+2322(3+1)31 =2+3+212(3+1)2

=2+3+2(3+1)

=2+3+231

=221

Lại có

C=(23527+412):3=(2359.3+44.3):3=(235.33+4.23):3=53:3=5

Nhận thấy B=221>0;C=5<0B>C

Câu 5 :

Cho các biểu thức A,BA.B0;B>0, khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A.

    AB=ABB

  • B.

    AB=ABB

  • C.

    AB=AB

  • D.

    AB=ABB

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức trục căn thức ở mẫu.

Lời giải chi tiết :

Sử dụng công thức trục căn thức ở mẫu.

Với các biểu thức A,BA.B0;B0, ta có AB=AB|B|={ABBkhiB>0ABBkhiB<0

Câu 6 :

Cho tam giác ABC  vuông tại A có AB=21cm;  ˆC=40 , phân giác BD  (D  thuộc AC ). Độ dài phân giác BD là (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

  • A.

    21,3cm

  • B.

    24cm

  • C.

    22,3cm

  • D.

    23,2cm

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Tính góc ABC từ đó suy ra góc ABD

+ Sử dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông ABD  để tính BD.

Lời giải chi tiết :

Xét tam giác ABC vuông tại A^ABC+ˆC=90^ABC=50

BD là phân giác góc ABC nên ^ABD=12^ABC=25

Xét tam giác ABD vuông tại A ta có BD=ABcos^ABD=21cos2523,2cm

Câu 7 :

Cho α là góc nhọn bất kỳ. Chọn khẳng định đúng.

  • A.

    sinα+cosα=1

  • B.

    sin2α+cos2α=1

  • C.

    sin3α+cos3α=1

  • D.

    sinαcosα=1

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Từ tỉ số lượng giác sin, cos để chứng minh.

Lời giải chi tiết :

Giả sử ta có tam giác vuông có các cạnh và góc α như hình vẽ.

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

sinα=ba,cosα=ca,tanα=bc,cotα=cb.

Ta có: sin2α+cos2α=(ba)2+(ca)2=b2+c2a2=a2a2=1

Vậy sin2α+cos2α=1

Câu 8 :

Cho hình vẽ, tìm x.

  • A.

    x=0,75

  • B.

    x=4,5

  • C.

    x=43

  • D.

    x=4

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: “ bình phương cạnh góc vuông bằng tích hình chiếu của nó lên cạnh huyền với cạnh huyền”

Lời giải chi tiết :

Đặt tên như hình vẽ trên.

Tam giác MNP  vuông tại M  có MHNP

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có MN2=NH2.NP62=x.8x=36:8=4,5.

Vậy x=4,5.

Câu 9 :

Khẳng định nào sau đây là đúng ?

  • A.

    2018+2019=2018+2019

  • B.

    2018.2019=20182019

  • C.

    2018.2019=2018.2019

  • D.

    2018.2019=20192018

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số a,b không âm, ta có ab=a.b

Lời giải chi tiết :

Ta có: 2018.2019=2018.2019

Câu 10 :

Giá trị của biểu thức 32+503818

  • A.

    1

  • B.

    0

  • C.

    2

  • D.

    3

Đáp án : B

Phương pháp giải :

-Sử dụng công thức khai phương một tích  AB=A.B,(A,B0) đưa biểu thức về các căn thức cùng loại (cùng biểu thức dưới dấu căn).

-Cộng trừ các căn thức

Lời giải chi tiết :

32+503818=16.2+25.234.29.2

=42+526232=0

Câu 11 :

Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH (như hình vẽ). Hệ thức nào sau đây là đúng ?

  • A.

    AH2=AB.AC

  • B.

    AH2=BH.CH

  • C.

    AH2=AB.BH

  • D.

    AH2=CH.BC

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Khi đó ta có hệ thức HA2=HB.HC

Câu 12 :

Tính x trong hình vẽ sau:

  • A.

    x=14

  • B.

    x=13

  • C.

    x=12

  • D.

    x=145

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Tính x theo hệ thức lượng 1AH2=1AB2+1AC2

Lời giải chi tiết :

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

1AH2=1AB2+1AC2AH=AB.ACAB2+AC2=15.20152+202=12

Vậy x=12.

Câu 13 :

Tìm các số x không âm thỏa mãn x3

  • A.

    x9

  • B.

    x<9

  • C.

    x>9

  • D.

    x9

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng cách so sánh hai căn bậc hai A>BA>B với A,B không âm.

Lời giải chi tiết :

3=9 nên x3 được viết là x9. Vì x không âm nên x9x9.

Câu 14 :

So sánh hai số 5502.

  • A.

    5>502

  • B.

    5=502

  • C.

    5<502

  • D.

    Chưa đủ điều kiện để so sánh.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

So sánh hai căn bậc hai: Với hai số a,b không âm ta có a<ba<b.

Lời giải chi tiết :

Tách 5=72=492.

49<50 nên 49<50

7<50

72<502

5<502.

Câu 15 :

So sánh hai số 9788

  • A.

    88<97

  • B.

    88=97

  • C.

    8897

  • D.

    97<88

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Đưa thừa số vào trong dấu căn để so sánh hai số A<B0A<B.

Đưa thừa số vào trong dấu căn

+) AB=A2B với A0B0

+) AB=A2B với A<0B0

Lời giải chi tiết :

Ta có: 97=92.7=81.7=567; 88=82.8=64.8=512

512<567 nên 512<567 hay 88<97

Câu 16 :

Tìm điều kiện của x để căn thức 1x1 có nghĩa.

  • A.

    x1

  • B.

    x<1

  • C.

    x>1

  • D.

    x=1

Đáp án : C

Phương pháp giải :

A xác định (hay có nghĩa)  khi A lấy giá trị không âm tức là A0.

Ngoài ra: 1A0A>0

Lời giải chi tiết :

Ta có 1x1 có nghĩa  1x10x1>0  (vì 1>0)

x>1

Câu 17 :

Rút gọn biểu thức

a2+8a+16+a28a+16 với 4a4 ta được

  • A.

    2a

  • B.

    8

  • C.

    8

  • D.

    2a

Đáp án : B

Phương pháp giải :

-Đưa biểu thức dưới dấu căn thành hằng đẳng thức (a+b)2=a2+2ab+b2(ab)2=a22ab+b2.

-Sử dụng hằng đẳng thức A2=|A|

- Phá dấu giá trị tuyệt đối |A|={AkhiA0AkhiA<0 (dựa vào điều kiện đề bài).

Lời giải chi tiết :

Ta có a2+8a+16=(a+4)2=|a+4|.

4a4a+40

|a+4|=a+4

Hay a2+8a+16=a+4 với 4a4

Ta có a28a+16=(a4)2

=|a4|.

4a4a40

|a4|=4a

Hay a28a+16=4a với 4a4

Khi đó a2+8a+16+a28a+16

=a+4+4a=8.

Câu 18 :

Giá trị của biểu thức  252700+1008448 là:

  • A.

    7

  • B.

    0

  • C.

    47

  • D.

    57

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số a,b không âm, ta có ab=a.b.

Lời giải chi tiết :

Ta có: 252700+1008448=36.7100.7+144.764.7=36.7100.7+144.764.7=67107+12787=7(610+128)=0

Câu 19 :

Rút gọn biểu thức  5a4b25a3+5a16ab29a với a0;b0 ta được kết quả là

  • A.

    22a

  • B.

    4a

  • C.

    8a

  • D.

    2a

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức đưa thừa số vào trong dấu căn và công thức khai phương một tích để xuất hiện nhân tử chung từ đó thực hiện phép tính.

Đưa thừa số vào trong dấu căn

+) AB=A2B với A0B0

+) AB=A2B với A<0B0

Công thức khai phương một tích

AB=A.B(A0;B0)

Lời giải chi tiết :

Ta có 5a4b25a3+5a16ab29a=5a425a3b2+516ab2.a29.a

=5a425.a3b2+516.a3b23a=(5a3a)(4.5a3b25.4a3b2)=2a

Câu 20 :

Sau khi rút gọn biểu thức 27+35+2735 là phân số tối giản ab,(a,bZ). Khi đó a+b có giá trị là:

  • A.

    28

  • B.

    7

  • C.

    8

  • D.

    14

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Trục căn thức ở mẫu theo công thức

Với các biểu thức A,B,CA0,AB2, ta có CA+B=C(AB)AB2;CAB=C(A+B)AB2

Lời giải chi tiết :

Ta có: 27+35+2735=2(735)(7+35)(735)+2(7+35)(735)(7+35)

=146572(35)2+14+6572(35)2=1465+14+65499.5=284=71

Suy ra a=7;b=1a+b=7+1=8.

Câu 21 :

Cho P=x+3x2 với x0;x4. Có bao nhiêu giá trị xZ để PZ.

  • A.

    3

  • B.

    2

  • C.

    0

  • D.

    4

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng: với P=ab với a,bZ thì PZ khi ab

Lời giải chi tiết :

TH1: x là số vô tỉ thì x+3x2 là số vô tỉ hay P là số vô tỉ (loại).

TH2: x là số nguyên.

Ta có: P=x+3x2=x2+5x2=x2x2+5x2=1+5x2

1Z nên để P=1+5x2 nhận giá trị nguyên thì 5x2Z hay 5(x2)(x2)Ư(5)={1;1;5;5}

+) x2=1 x=3x=9(tm)

+) x2=1 x=1x=1(tm)

+) x2=5 x=7x=49(tm)

+) x2=5 x=3 (vô nghiệm vì x0 với mọi x0)

Vậy có ba giá trị của x thỏa mãn điều kiện là x=1;x=9;x=49.

Câu 22 :

Cho biểu thức A=x+1x2 với x0;x4. Tìm các giá trị của x biết A=x12 .

  • A.

    x=0;x=5

  • B.

    x=0

  • C.

    x=0;x=25

  • D.

    x=5;x=1

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Cho A=x12

Giải phương trình chứa căn bằng cách quy đồng mẫu số, đưa phương trình về dạng chứa căn cơ bản đã biết.

Lời giải chi tiết :

Với x0;x4 ta có: A=x12x+1x2=x12

2(x+1)=(x2)(x1)2x+2=x3x+2

x5x=0x(x5)=0[x=0x=5[x=0(tm)x=25(tm)

Vậy giá trị cần tìm là x=0;x=25.

Câu 23 :

Giải phương trình 2x24x+5=x2  ta được nghiệm là

  • A.

    x=1

  • B.

    x=3

  • C.

    x=2

  • D.

    Phương trình vô nghiệm

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Tìm điều kiện

+ Giải phương trình dạng A=B(B0)A=B2

Lời giải chi tiết :

Điều kiện:

x20x2.

Ta có: 2x24x+5=x22x24x+5=(x2)2

\Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + 5 = {x^2} - 4x + 4 \Leftrightarrow {x^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} =  - 1\, (vô nghiệm vì {x^2} \ge 0\,\,\forall x )

Vậy phương trình vô nghiệm.

Câu 24 :

Rút gọn biểu thức:B = \dfrac{x}{{x - 4}} + \dfrac{1}{{\sqrt x  - 2}} + \dfrac{1}{{\sqrt x  + 2}} với x \ge 0;\,\,x \ne 4.

  • A.

    B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}

  • B.

    B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}

  • C.

    B = \dfrac{{ - \sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}

  • D.

    B = \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi qui đồng mẫu các phân thức

+ Từ đó rút gọn phân thức

Lời giải chi tiết :

\begin{array}{l}B = \dfrac{x}{{x - 4}} + \dfrac{1}{{\sqrt x  - 2}} + \dfrac{1}{{\sqrt x  + 2}} = \dfrac{x}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} + \dfrac{1}{{\sqrt x  - 2}} + \dfrac{1}{{\sqrt x  + 2}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{x + \sqrt x  + 2 + \sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} = \dfrac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}.\end{array}

Vậy B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}  với x \ge 0;\,\,x \ne 4.

Câu 25 :

Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH. Cho biết AB:AC = 3:4 AH = 6cm. Tính độ dài các đoạn thẳng CH.

  • A.

    CH = 8

  • B.

    CH = 6

  • C.

    CH = 10

  • D.

    CH = 12

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1: Tính AB,AC dựa vào tỉ lệ cho trước và hệ thức \dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}

Bước 2: Tính CH theo định lý Pytago

Lời giải chi tiết :

Ta có AB:AC = 3:4 , đặt AB = 3a;AC = 4a\,\left( {a > 0} \right)

Theo hệ thức lượng \dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}} \Rightarrow \dfrac{1}{{36}} = \dfrac{1}{{9{a^2}}} + \dfrac{1}{{16{a^2}}} \Rightarrow \dfrac{1}{{36}} = \dfrac{{25}}{{144{a^2}}} \Rightarrow a = \dfrac{5}{2} (TM )

\Rightarrow AB = 7,5;AC = 10

Theo định lý Pytago cho tam giác vuông AHC ta có CH = \sqrt {A{C^2} - A{H^2}}  = \sqrt {100 - 36}  = 8

Vậy CH = 8 .

Câu 26 :

Cho tam giác ABC vuông tại  AAB = 5\,cm,\,\,\cot C = \dfrac{7}{8} . Tính độ dài các đoạn thẳng ACBC . (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2 )

  • A.

    AC \approx 4,39 (cm);BC \approx 6,66 (cm)

  • B.

    AC \approx 4,38(cm);BC \approx 6,64(cm)

  • C.

    AC \approx 4,38(cm);BC \approx 6,67(cm)

  • D.

    AC \approx 4,37(cm);BC \approx 6,67(cm)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng tỉ số lương giác của góc nhọn, định lý Pytago để tính cạnh.

Lời giải chi tiết :

Vì tam giác ABC vuông tại  A nên \cot C = \dfrac{{AC}}{{AB}} \Rightarrow AC = AB.\cot C = 5.\dfrac{7}{8} = \dfrac{{35}}{8} \approx 4,38\,\,cm

Theo định lý Pytago ta có B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {5^2} + {\left( {\dfrac{{35}}{8}} \right)^2} \Rightarrow BC \approx 6,64

Vậy AC \approx 4,38(cm);BC \approx 6,64(cm).

Câu 27 :

Cho \alpha là góc nhọn bất kỳ. Biểu thức Q = \dfrac{{1 + {{\sin }^2}\alpha }}{{1 - {{\sin }^2}\alpha }} bằng

  • A.

    Q = 1 + {\tan ^2}\alpha

  • B.

    Q = 1 + 2{\tan ^2}\alpha

  • C.

    Q = 1 - 2{\tan ^2}\alpha

  • D.

    Q = 2{\tan ^2}\alpha

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Biến đổi để sử dụng các đẳng thức lượng giác thích hợp.

Lời giải chi tiết :

Với \tan \alpha  = \dfrac{{sin\alpha }}{{\cos \alpha }};{\cos ^2}\alpha  = 1 - {\sin ^2}\alpha .

Q = \dfrac{{1 + {{\sin }^2}\alpha }}{{1 - {{\sin }^2}\alpha }} = \dfrac{{1 - {{\sin }^2}\alpha  + 2{{\sin }^2}\alpha }}{{1 - {{\sin }^2}\alpha }} = \dfrac{{1 - {{\sin }^2}\alpha }}{{1 - {{\sin }^2}\alpha }} + \dfrac{{2{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}

= 1 + 2.{\left( {\dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}} \right)^2} = 1 + 2{\tan ^2}\alpha

Vậy Q = 1 + 2{\tan ^2}\alpha .

Câu 28 :

Nhà bạn Vũ có một chiếc thang dài 3,5\,m. Cần đặt chân thang cách chân tường một khoảng cách bằng bao nhiêu để nó tạo được với mặt đất một góc “an toàn” là {62^0} (tức là đảm bảo thang không bị đổ khi sử dụng). (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

  • A.

    1,65\,m

  • B.

    1,64\,\,m

  • C.

    1,68\,m

  • D.

    1,69\,m

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Ta có BC = 3,5\,\,m;\widehat C = 62^\circ . Xét \Delta ABC vuông tại AAC = BC.\cos \widehat C = 3,5.\cos 62^\circ  \simeq 1,64\,\,m.

Câu 29 :

Tính số đo góc nhọn x,  biết: {\cos ^2}x - {\sin ^2}x = \dfrac{1}{2}

  • A.

    45^\circ

  • B.

    30^\circ

  • C.

    60^\circ

  • D.

    90^\circ

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng hệ thức {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1  để biến đổi giả thiết

Lời giải chi tiết :

Ta có {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1 \Rightarrow {\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x

Từ đó {\cos ^2}x - {\sin ^2}x = \dfrac{1}{2}

\Leftrightarrow {\cos ^2}x - \left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x = \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow {\cos ^2}x = \dfrac{3}{4} \Rightarrow \cos x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}  (do x là góc nhọn nên \cos x > 0 )

Suy ra x = 30^\circ .

Câu 30 :

Cho \Delta ABC vuông tại  A. Biết \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{5}{7}. Đường cao AH = 15cm. Tính {\rm{ }}HC.

  • A.

    \dfrac{{15\sqrt {74} }}{7}

  • B.

    3\sqrt {74} \,cm

  • C.

    22\,cm

  • D.

    21\,cm

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Đặt AB = 5a;AC = 7a \left( {a > 0} \right)

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông một cách thích hợp để tìm  HC.

Lời giải chi tiết :

\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{5}{7} \Rightarrow AB = 5a;AC = 7a  với a > 0.

Theo hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại A ta có

\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}

\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{15}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {5a} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {7a} \right)}^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{225}} = \dfrac{1}{{25{a^2}}} + \dfrac{1}{{49{a^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{225}} = \dfrac{{74}}{{1225{a^2}}} \Rightarrow {a^2} = \dfrac{{666}}{{49}} \Rightarrow a = \dfrac{{3\sqrt {74} }}{7}

Suy ra AB = \dfrac{{15\sqrt {74} }}{7};AC = 3\sqrt {74}

Lại có AH.BC = AB.AC \Rightarrow BC = \dfrac{{AB.AC}}{{AH}} = \dfrac{{222}}{7}

A{C^2} = CH.BC \Rightarrow HC = \dfrac{{A{C^2}}}{{BC}} = 21\,cm.

Câu 31 :

Cho A = \dfrac{{2x}}{{x + 3\sqrt x  + 2}} + \dfrac{{5\sqrt x  + 1}}{{x + 4\sqrt x  + 3}} + \dfrac{{\sqrt x  + 10}}{{x + 5\sqrt x  + 6}}  với x \ge 0. Chọn đáp án đúng.

  • A.

    A = 2\sqrt x

  • B.

    Giá trị của A không phụ thuộc vào biến x.

  • C.

    A = 3\left( {\sqrt x  + 2} \right)

  • D.

    A = \dfrac{2}{{\sqrt x  + 1}}

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi qui đồng mẫu các phân thức

+ Từ đó rút gọn phân thức

Lời giải chi tiết :

A = \dfrac{{2x}}{{x + 3\sqrt x  + 2}} + \dfrac{{5\sqrt x  + 1}}{{x + 4\sqrt x  + 3}} + \dfrac{{\sqrt x  + 10}}{{x + 5\sqrt x  + 6}}= \dfrac{{2x}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} + \dfrac{{5\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} + \dfrac{{\sqrt x  + 10}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}

= \dfrac{{2x\left( {\sqrt x  + 3} \right) + \left( {5\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right) + \left( {\sqrt x  + 10} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}

= \dfrac{{2x\sqrt x  + 6x + 5x + 11\sqrt x  + 2 + x + 11\sqrt x  + 10}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}

= \dfrac{{2x\sqrt x  + 12x + 22\sqrt x  + 12}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}

= \dfrac{{2x\sqrt x  + 2x + 10x + 10\sqrt x  + 12\sqrt x  + 12}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}

\begin{array}{l} = \dfrac{{2x\left( {\sqrt x  + 1} \right) + 10\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right) + 12\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\\ = \dfrac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {2x + 10\sqrt x  + 12} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\\ = \dfrac{{2\left( {x + 5\sqrt x + 6} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\ = \dfrac{{2\left( {x + 2\sqrt x + 3\sqrt x + 6} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\ = \dfrac{{2\left[ {\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right) + 3\left( {\sqrt x + 2} \right)} \right]}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\= \dfrac{{2\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\\ = 2\end{array}

Vậy giá trị của A không phụ thuộc vào biến x.

Câu 32 :

Giả sử a;\,\,b;\,\,c là các số thực dương. Chọn câu đúng.

  • A.

    \sqrt {1 + {a^2}}  + \sqrt {1 + {b^2}}  + \sqrt {1 + {c^2}}  \le 2\left( {\sqrt {a + b}  + \sqrt {b + c}  + \sqrt {c + a} } \right)

  • B.

    \sqrt {1 + {a^2}}  + \sqrt {1 + {b^2}}  + \sqrt {1 + {c^2}}  \ge 2\left( {\sqrt {a + b}  + \sqrt {b + c}  + \sqrt {c + a} } \right)

  • C.

    \sqrt {1 + {a^2}}  + \sqrt {1 + {b^2}}  + \sqrt {1 + {c^2}}  \le \sqrt {a + b}  + \sqrt {b + c}  + \sqrt {c + a}

  • D.

    \sqrt {1 + {a^2}}  + \sqrt {1 + {b^2}}  + \sqrt {1 + {c^2}}  \ge \sqrt {a + b}  + \sqrt {b + c}  + \sqrt {c + a}

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Bài toán kết hợp cả hai bất đẳng thức quen thuộc là Cosi và Bunhiacopxki để chứng minh bất đẳng thức.

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

+ Bất đẳng thức Cosi cho hai số thực dương: a + b \ge 2\sqrt {ab} .

+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số (a;\,\,b);\,\,(c;\,\,d) ta có {\left( {ac + bd} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right).

Lời giải chi tiết :

Theo bất đẳng thức Cô si:

\sqrt {1 + {a^2}}  + \sqrt {1 + {b^2}}  \ge 2\sqrt {\sqrt {1 + {a^2}} \sqrt {1 + {b^2}} }  = 2\sqrt[4]{(1 + {a^2}) (1 + {b^2})}.

Theo bất đẳng thức Bunhia cốpxki:

\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right) = \left( {1 + {a^2}} \right)\left( {{b^2} + 1} \right) \ge {(a + b)^2}

\Rightarrow \sqrt {1 + {a^2}}  + \sqrt {1 + {b^2}}  \ge 2\sqrt {a + b}

Tương tự: \sqrt {1 + {b^2}}  + \sqrt {1 + {c^2}}  \ge 2\sqrt {b + c} \Rightarrow \sqrt {1 + {c^2}}  + \sqrt {1 + {a^2}}  \ge 2\sqrt {c + a}

Cộng cả ba bất đẳng thức trên rồi chia cho 2 ta có:

\sqrt {1 + {a^2}}  + \sqrt {1 + {b^2}}  + \sqrt {1 + {c^2}}  \ge \sqrt {a + b}  + \sqrt {b + c}  + \sqrt {c + a}

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1.


Cùng chủ đề:

Đề kiểm tra 45 phút chương 6: Đường tròn - Đề số 1
Đề kiểm tra 45 phút chương 6: Đường tròn - Đề số 2
Đề kiểm tra 45 phút chương 7: Góc với đường tròn - Đề số 1
Đề kiểm tra 45 phút chương 8: Hình trụ - Hình nón - Hình cầu - Đề số 1
Đề kiểm tra giữa học kì 1 Toán 9 - Đề số 1
Đề kiểm tra giữa học kì 1 Toán 9 - Đề số 2
Đề kiểm tra giữa học kì 1 Toán 9 - Đề số 3
Đề kiểm tra giữa học kì 2 Toán 9 - Đề số 1
Đề kiểm tra giữa kì 1 Toán 9 - Đề số 6 có lời giải chi tiết
Đề kiểm tra giữa kì 1 Toán 9 - Đề số 7 có lời giải chi tiết
Đề kiểm tra giữa kì 1 Toán 9 - Đề số 8 có lời giải chi tiết