Đề kiểm tra giữa học kì 1 Toán 9 - Đề số 2
Đề bài
Cho tam giác MNP vuông tại M. Khi đó cos^MNP bằng
-
A.
MNNP
-
B.
MPNP
-
C.
MNMP
-
D.
MPMN
Một cột đèn có bóng trên mặt đất dài 7,5m. Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng 420. Tính chiều cao của cột đèn. (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba)
-
A.
6,753m
-
B.
6,75m
-
C.
6,751m
-
D.
6,755m
Chọn câu đúng nhất. Nếu α là một góc nhọn bất kỳ, ta có
-
A.
sin2α+cos2α=1
-
B.
tanα.cotα=1
-
C.
tanα=sinαcosα
-
D.
Cả A, B, C đều đúng
Cho B=2√2+1√3−√2−2√3−1 và C=(2√3−5√27+4√12):√3. Chọn đáp án đúng.
-
A.
B>C
-
B.
B<C
-
C.
B=C
-
D.
B=−C
Cho các biểu thức A,B mà A.B≥0;B>0, khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A.
√AB=√ABB
-
B.
√AB=−√ABB
-
C.
√AB=√AB
-
D.
√AB=AB√B
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=21cm; ˆC=40∘ , phân giác BD (D thuộc AC ). Độ dài phân giác BD là (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
-
A.
21,3cm
-
B.
24cm
-
C.
22,3cm
-
D.
23,2cm
Cho α là góc nhọn bất kỳ. Chọn khẳng định đúng.
-
A.
sinα+cosα=1
-
B.
sin2α+cos2α=1
-
C.
sin3α+cos3α=1
-
D.
sinα−cosα=1
Cho hình vẽ, tìm x.

-
A.
x=0,75
-
B.
x=4,5
-
C.
x=4√3
-
D.
x=4
Khẳng định nào sau đây là đúng ?
-
A.
√2018+2019=√2018+√2019
-
B.
√2018.2019=√2018√2019
-
C.
√2018.√2019=√2018.2019
-
D.
2018.2019=√2019√2018
Giá trị của biểu thức √32+√50−3√8−√18 là
-
A.
1
-
B.
0
-
C.
2
-
D.
3
Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH (như hình vẽ). Hệ thức nào sau đây là đúng ?

-
A.
AH2=AB.AC
-
B.
AH2=BH.CH
-
C.
AH2=AB.BH
-
D.
AH2=CH.BC
Tính x trong hình vẽ sau:

-
A.
x=14
-
B.
x=13
-
C.
x=12
-
D.
x=√145
Tìm các số x không âm thỏa mãn √x≥3
-
A.
x≥9
-
B.
x<9
-
C.
x>9
-
D.
x≤9
So sánh hai số 5 và √50−2.
-
A.
5>√50−2
-
B.
5=√50−2
-
C.
5<√50−2
-
D.
Chưa đủ điều kiện để so sánh.
So sánh hai số 9√7 và 8√8
-
A.
8√8<9√7
-
B.
8√8=9√7
-
C.
8√8≥9√7
-
D.
9√7<8√8
Tìm điều kiện của x để căn thức √1x−1 có nghĩa.
-
A.
x≥1
-
B.
x<1
-
C.
x>1
-
D.
x=1
Rút gọn biểu thức
√a2+8a+16+√a2−8a+16 với −4≤a≤4 ta được
-
A.
2a
-
B.
8
-
C.
−8
-
D.
−2a
Giá trị của biểu thức √252−√700+√1008−√448 là:
-
A.
√7
-
B.
0
-
C.
4√7
-
D.
5√7
Rút gọn biểu thức 5√a−4b√25a3+5a√16ab2−√9a với a≥0;b≥0 ta được kết quả là
-
A.
2√2a
-
B.
4√a
-
C.
8√a
-
D.
2√a
Sau khi rút gọn biểu thức 27+3√5+27−3√5 là phân số tối giản ab,(a,b∈Z). Khi đó a+b có giá trị là:
-
A.
28
-
B.
7
-
C.
8
-
D.
14
Cho P=√x+3√x−2 với x≥0;x≠4. Có bao nhiêu giá trị x∈Z để P∈Z.
-
A.
3
-
B.
2
-
C.
0
-
D.
4
Cho biểu thức A=√x+1√x−2 với x≥0;x≠4. Tìm các giá trị của x biết A=√x−12 .
-
A.
x=0;x=5
-
B.
x=0
-
C.
x=0;x=25
-
D.
x=5;x=1
Giải phương trình √2x2−4x+5=x−2 ta được nghiệm là
-
A.
x=1
-
B.
x=3
-
C.
x=2
-
D.
Phương trình vô nghiệm
Rút gọn biểu thức:B=xx−4+1√x−2+1√x+2 với x≥0;x≠4.
-
A.
B=√x√x+2
-
B.
B=√x√x−2
-
C.
B=−√x√x−2
-
D.
B=2√x√x−2
Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH. Cho biết AB:AC=3:4 và AH=6cm. Tính độ dài các đoạn thẳng CH.
-
A.
CH=8
-
B.
CH=6
-
C.
CH=10
-
D.
CH=12
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=5cm,cotC=78 . Tính độ dài các đoạn thẳng AC và BC . (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2 )
-
A.
AC≈4,39(cm);BC≈6,66(cm)
-
B.
AC≈4,38(cm);BC≈6,64(cm)
-
C.
AC≈4,38(cm);BC≈6,67(cm)
-
D.
AC≈4,37(cm);BC≈6,67(cm)
Cho α là góc nhọn bất kỳ. Biểu thức Q=1+sin2α1−sin2α bằng
-
A.
Q=1+tan2α
-
B.
Q=1+2tan2α
-
C.
Q=1−2tan2α
-
D.
Q=2tan2α
Nhà bạn Vũ có một chiếc thang dài 3,5m. Cần đặt chân thang cách chân tường một khoảng cách bằng bao nhiêu để nó tạo được với mặt đất một góc “an toàn” là 620 (tức là đảm bảo thang không bị đổ khi sử dụng). (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
-
A.
1,65m
-
B.
1,64m
-
C.
1,68m
-
D.
1,69m
Tính số đo góc nhọn x, biết: cos2x−sin2x=12
-
A.
45∘
-
B.
30∘
-
C.
60∘
-
D.
90∘
Cho ΔABC vuông tại A. Biết ABAC=57. Đường cao AH=15cm. Tính HC.
-
A.
15√747
-
B.
3√74cm
-
C.
22cm
-
D.
21cm
Cho A=2xx+3√x+2+5√x+1x+4√x+3+√x+10x+5√x+6 với x≥0. Chọn đáp án đúng.
-
A.
A=2√x
-
B.
Giá trị của A không phụ thuộc vào biến x.
-
C.
A=3(√x+2)
-
D.
A=2√x+1
Giả sử a;b;c là các số thực dương. Chọn câu đúng.
-
A.
√1+a2+√1+b2+√1+c2≤2(√a+b+√b+c+√c+a)
-
B.
√1+a2+√1+b2+√1+c2≥2(√a+b+√b+c+√c+a)
-
C.
√1+a2+√1+b2+√1+c2≤√a+b+√b+c+√c+a
-
D.
√1+a2+√1+b2+√1+c2≥√a+b+√b+c+√c+a
Lời giải và đáp án
Cho tam giác MNP vuông tại M. Khi đó cos^MNP bằng
-
A.
MNNP
-
B.
MPNP
-
C.
MNMP
-
D.
MPMN
Đáp án : A
Ta có cos^MNP=MNNP
Một cột đèn có bóng trên mặt đất dài 7,5m. Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng 420. Tính chiều cao của cột đèn. (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba)
-
A.
6,753m
-
B.
6,75m
-
C.
6,751m
-
D.
6,755m
Đáp án : A

Ta có chiều cao cột đèn là AC; AB=7,5m và ^ACB=42∘
Xét tam giác ACB vuông tại A có
AC=AB.tanB=7,5.tan42∘≈6,753m
Vậy cột đèn cao 6,753m
Chọn câu đúng nhất. Nếu α là một góc nhọn bất kỳ, ta có
-
A.
sin2α+cos2α=1
-
B.
tanα.cotα=1
-
C.
tanα=sinαcosα
-
D.
Cả A, B, C đều đúng
Đáp án : D
Nếu α là một góc nhọn bất kỳ thì sin2α+cos2α=1;tanα.cotα=1
tanα=sinαcosα;cotα=cosαsinα nên cả A, B, C đều đúng
Cho B=2√2+1√3−√2−2√3−1 và C=(2√3−5√27+4√12):√3. Chọn đáp án đúng.
-
A.
B>C
-
B.
B<C
-
C.
B=C
-
D.
B=−C
Đáp án : A
+ Tính B;C bằng cách sử dụng các công thức
Với A>0 và A≠B2 thì C√A±B=C(√A∓B)A−B2
Khai phương một tích: √A.B=√A.√B(A≥0,B≥0)
+ So sánh B;C.
Ta có B=2√2+1√3−√2−2√3−1
=2√2√2.√2+√3+√2(√3−√2)(√3+√2)−2(√3+1)(√3−1)(√3+1)
=2√22+√3+√23−2−2(√3+1)3−1 =√2+√3+√21−2(√3+1)2
=√2+√3+√2−(√3+1)
=√2+√3+√2−√3−1
=2√2−1
Lại có
C=(2√3−5√27+4√12):√3=(2√3−5√9.3+4√4.3):√3=(2√3−5.3√3+4.2√3):√3=−5√3:√3=−5
Nhận thấy B=2√2−1>0;C=−5<0⇒B>C
Cho các biểu thức A,B mà A.B≥0;B>0, khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A.
√AB=√ABB
-
B.
√AB=−√ABB
-
C.
√AB=√AB
-
D.
√AB=AB√B
Đáp án : A
Sử dụng công thức trục căn thức ở mẫu.
Sử dụng công thức trục căn thức ở mẫu.
Với các biểu thức A,B mà A.B≥0;B≠0, ta có √AB=√AB|B|={√ABBkhiB>0−√ABBkhiB<0
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=21cm; ˆC=40∘ , phân giác BD (D thuộc AC ). Độ dài phân giác BD là (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
-
A.
21,3cm
-
B.
24cm
-
C.
22,3cm
-
D.
23,2cm
Đáp án : D
+ Tính góc ABC từ đó suy ra góc ABD
+ Sử dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông ABD để tính BD.

Xét tam giác ABC vuông tại A có ^ABC+ˆC=90∘⇒^ABC=50∘
Mà BD là phân giác góc ABC nên ^ABD=12^ABC=25∘
Xét tam giác ABD vuông tại A ta có BD=ABcos^ABD=21cos25∘≈23,2cm
Cho α là góc nhọn bất kỳ. Chọn khẳng định đúng.
-
A.
sinα+cosα=1
-
B.
sin2α+cos2α=1
-
C.
sin3α+cos3α=1
-
D.
sinα−cosα=1
Đáp án : B
Từ tỉ số lượng giác sin, cos để chứng minh.
Giả sử ta có tam giác vuông có các cạnh và góc α như hình vẽ.
Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có:
sinα=ba,cosα=ca,tanα=bc,cotα=cb.
Ta có: sin2α+cos2α=(ba)2+(ca)2=b2+c2a2=a2a2=1
Vậy sin2α+cos2α=1
Cho hình vẽ, tìm x.

-
A.
x=0,75
-
B.
x=4,5
-
C.
x=4√3
-
D.
x=4
Đáp án : B
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: “ bình phương cạnh góc vuông bằng tích hình chiếu của nó lên cạnh huyền với cạnh huyền”

Đặt tên như hình vẽ trên.
Tam giác MNP vuông tại M có MH⊥NP
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có MN2=NH2.NP⇒62=x.8⇒x=36:8=4,5.
Vậy x=4,5.
Khẳng định nào sau đây là đúng ?
-
A.
√2018+2019=√2018+√2019
-
B.
√2018.2019=√2018√2019
-
C.
√2018.√2019=√2018.2019
-
D.
2018.2019=√2019√2018
Đáp án : C
Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số a,b không âm, ta có √ab=√a.√b
Ta có: √2018.√2019=√2018.2019
Giá trị của biểu thức √32+√50−3√8−√18 là
-
A.
1
-
B.
0
-
C.
2
-
D.
3
Đáp án : B
-Sử dụng công thức khai phương một tích √AB=√A.√B,(A,B≥0) đưa biểu thức về các căn thức cùng loại (cùng biểu thức dưới dấu căn).
-Cộng trừ các căn thức
√32+√50−3√8−√18=√16.2+√25.2−3√4.2−√9.2
=4√2+5√2−6√2−3√2=0
Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH (như hình vẽ). Hệ thức nào sau đây là đúng ?

-
A.
AH2=AB.AC
-
B.
AH2=BH.CH
-
C.
AH2=AB.BH
-
D.
AH2=CH.BC
Đáp án : B
Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Khi đó ta có hệ thức HA2=HB.HC
Tính x trong hình vẽ sau:

-
A.
x=14
-
B.
x=13
-
C.
x=12
-
D.
x=√145
Đáp án : C
Tính x theo hệ thức lượng 1AH2=1AB2+1AC2
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:
1AH2=1AB2+1AC2⇒AH=AB.AC√AB2+AC2=15.20√152+202=12
Vậy x=12.
Tìm các số x không âm thỏa mãn √x≥3
-
A.
x≥9
-
B.
x<9
-
C.
x>9
-
D.
x≤9
Đáp án : A
Sử dụng cách so sánh hai căn bậc hai √A>√B⇔A>B với A,B không âm.
Vì 3=√9 nên √x≥3 được viết là √x≥√9. Vì x không âm nên √x≥√9⇒x≥9.
So sánh hai số 5 và √50−2.
-
A.
5>√50−2
-
B.
5=√50−2
-
C.
5<√50−2
-
D.
Chưa đủ điều kiện để so sánh.
Đáp án : C
So sánh hai căn bậc hai: Với hai số a,b không âm ta có a<b⇔√a<√b.
Tách 5=7−2=√49−2.
Vì 49<50 nên √49<√50
7<√50
7−2<√50−2
5<√50−2.
So sánh hai số 9√7 và 8√8
-
A.
8√8<9√7
-
B.
8√8=9√7
-
C.
8√8≥9√7
-
D.
9√7<8√8
Đáp án : A
Đưa thừa số vào trong dấu căn để so sánh hai số √A<√B⇔0≤A<B.
Đưa thừa số vào trong dấu căn
+) A√B=√A2B với A≥0 và B≥0
+) A√B=−√A2B với A<0 và B≥0
Ta có: 9√7=√92.7=√81.7=√567; 8√8=√82.8=√64.8=√512
Vì 512<567 nên √512<√567 hay 8√8<9√7
Tìm điều kiện của x để căn thức √1x−1 có nghĩa.
-
A.
x≥1
-
B.
x<1
-
C.
x>1
-
D.
x=1
Đáp án : C
√A xác định (hay có nghĩa) khi A lấy giá trị không âm tức là A≥0.
Ngoài ra: 1A≥0⇔A>0
Ta có √1x−1 có nghĩa ⇔1x−1≥0⇒x−1>0 (vì 1>0)
⇔x>1
Rút gọn biểu thức
√a2+8a+16+√a2−8a+16 với −4≤a≤4 ta được
-
A.
2a
-
B.
8
-
C.
−8
-
D.
−2a
Đáp án : B
-Đưa biểu thức dưới dấu căn thành hằng đẳng thức (a+b)2=a2+2ab+b2 và (a−b)2=a2−2ab+b2.
-Sử dụng hằng đẳng thức √A2=|A|
- Phá dấu giá trị tuyệt đối |A|={AkhiA≥0−AkhiA<0 (dựa vào điều kiện đề bài).
Ta có √a2+8a+16=√(a+4)2=|a+4|.
Mà −4≤a≤4⇒a+4≥0
⇒|a+4|=a+4
Hay √a2+8a+16=a+4 với −4≤a≤4
Ta có √a2−8a+16=√(a−4)2
=|a−4|.
Mà −4≤a≤4⇒a−4≤0
⇒|a−4|=4−a
Hay √a2−8a+16=4−a với −4≤a≤4
Khi đó √a2+8a+16+√a2−8a+16
=a+4+4−a=8.
Giá trị của biểu thức √252−√700+√1008−√448 là:
-
A.
√7
-
B.
0
-
C.
4√7
-
D.
5√7
Đáp án : B
- Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số a,b không âm, ta có √ab=√a.√b.
Ta có: √252−√700+√1008−√448=√36.7−√100.7+√144.7−√64.7=√36.√7−√100.√7+√144.√7−√64.√7=6√7−10√7+12√7−8√7=√7(6−10+12−8)=0
Rút gọn biểu thức 5√a−4b√25a3+5a√16ab2−√9a với a≥0;b≥0 ta được kết quả là
-
A.
2√2a
-
B.
4√a
-
C.
8√a
-
D.
2√a
Đáp án : D
Sử dụng công thức đưa thừa số vào trong dấu căn và công thức khai phương một tích để xuất hiện nhân tử chung từ đó thực hiện phép tính.
Đưa thừa số vào trong dấu căn
+) A√B=√A2B với A≥0 và B≥0
+) A√B=−√A2B với A<0 và B≥0
Công thức khai phương một tích
√AB=√A.√B(A≥0;B≥0)
Ta có 5√a−4b√25a3+5a√16ab2−√9a=5√a−4√25a3b2+5√16ab2.a2−√9.√a
=5√a−4√25.√a3b2+5√16.√a3b2−3√a=(5√a−3√a)−(4.5√a3b2−5.4√a3b2)=2√a
Sau khi rút gọn biểu thức 27+3√5+27−3√5 là phân số tối giản ab,(a,b∈Z). Khi đó a+b có giá trị là:
-
A.
28
-
B.
7
-
C.
8
-
D.
14
Đáp án : C
Trục căn thức ở mẫu theo công thức
Với các biểu thức A,B,C mà A≥0,A≠B2, ta có C√A+B=C(√A−B)A−B2;C√A−B=C(√A+B)A−B2
Ta có: 27+3√5+27−3√5=2(7−3√5)(7+3√5)(7−3√5)+2(7+3√5)(7−3√5)(7+3√5)
=14−6√572−(3√5)2+14+6√572−(3√5)2=14−6√5+14+6√549−9.5=284=71
Suy ra a=7;b=1⇒a+b=7+1=8.
Cho P=√x+3√x−2 với x≥0;x≠4. Có bao nhiêu giá trị x∈Z để P∈Z.
-
A.
3
-
B.
2
-
C.
0
-
D.
4
Đáp án : A
Sử dụng: với P=ab với a,b∈Z thì P∈Z khi a⋮b
TH1: √x là số vô tỉ thì √x+3√x−2 là số vô tỉ hay P là số vô tỉ (loại).
TH2: √x là số nguyên.
Ta có: P=√x+3√x−2=√x−2+5√x−2=√x−2√x−2+5√x−2=1+5√x−2
Vì 1∈Z nên để P=1+5√x−2 nhận giá trị nguyên thì 5√x−2∈Z hay 5⋮(√x−2)(√x−2)∈Ư(5)={1;−1;5;−5}
+) √x−2=1 √x=3x=9(tm)
+) √x−2=−1 √x=1x=1(tm)
+) √x−2=5 √x=7x=49(tm)
+) √x−2=−5 √x=−3 (vô nghiệm vì √x≥0 với mọi x≥0)
Vậy có ba giá trị của x thỏa mãn điều kiện là x=1;x=9;x=49.
Cho biểu thức A=√x+1√x−2 với x≥0;x≠4. Tìm các giá trị của x biết A=√x−12 .
-
A.
x=0;x=5
-
B.
x=0
-
C.
x=0;x=25
-
D.
x=5;x=1
Đáp án : C
Cho A=√x−12
Giải phương trình chứa căn bằng cách quy đồng mẫu số, đưa phương trình về dạng chứa căn cơ bản đã biết.
Với x≥0;x≠4 ta có: A=√x−12√x+1√x−2=√x−12
⇒2(√x+1)=(√x−2)(√x−1)2√x+2=x−3√x+2
x−5√x=0√x(√x−5)=0[√x=0√x=5[x=0(tm)x=25(tm)
Vậy giá trị cần tìm là x=0;x=25.
Giải phương trình √2x2−4x+5=x−2 ta được nghiệm là
-
A.
x=1
-
B.
x=3
-
C.
x=2
-
D.
Phương trình vô nghiệm
Đáp án : D
+ Tìm điều kiện
+ Giải phương trình dạng √A=B(B≥0)⇔A=B2
Điều kiện:
x−2≥0⇔x≥2.
Ta có: √2x2−4x+5=x−2⇔2x2−4x+5=(x−2)2
\Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + 5 = {x^2} - 4x + 4 \Leftrightarrow {x^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = - 1\, (vô nghiệm vì {x^2} \ge 0\,\,\forall x )
Vậy phương trình vô nghiệm.
Rút gọn biểu thức:B = \dfrac{x}{{x - 4}} + \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} với x \ge 0;\,\,x \ne 4.
-
A.
B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}
-
B.
B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}
-
C.
B = \dfrac{{ - \sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}
-
D.
B = \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}
Đáp án : B
+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi qui đồng mẫu các phân thức
+ Từ đó rút gọn phân thức
\begin{array}{l}B = \dfrac{x}{{x - 4}} + \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} = \dfrac{x}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{x + \sqrt x + 2 + \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \dfrac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}.\end{array}
Vậy B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} với x \ge 0;\,\,x \ne 4.
Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH. Cho biết AB:AC = 3:4 và AH = 6cm. Tính độ dài các đoạn thẳng CH.
-
A.
CH = 8
-
B.
CH = 6
-
C.
CH = 10
-
D.
CH = 12
Đáp án : A
Bước 1: Tính AB,AC dựa vào tỉ lệ cho trước và hệ thức \dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}
Bước 2: Tính CH theo định lý Pytago

Ta có AB:AC = 3:4 , đặt AB = 3a;AC = 4a\,\left( {a > 0} \right)
Theo hệ thức lượng \dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}} \Rightarrow \dfrac{1}{{36}} = \dfrac{1}{{9{a^2}}} + \dfrac{1}{{16{a^2}}} \Rightarrow \dfrac{1}{{36}} = \dfrac{{25}}{{144{a^2}}} \Rightarrow a = \dfrac{5}{2} (TM )
\Rightarrow AB = 7,5;AC = 10
Theo định lý Pytago cho tam giác vuông AHC ta có CH = \sqrt {A{C^2} - A{H^2}} = \sqrt {100 - 36} = 8
Vậy CH = 8 .
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5\,cm,\,\,\cot C = \dfrac{7}{8} . Tính độ dài các đoạn thẳng AC và BC . (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2 )
-
A.
AC \approx 4,39 (cm);BC \approx 6,66 (cm)
-
B.
AC \approx 4,38(cm);BC \approx 6,64(cm)
-
C.
AC \approx 4,38(cm);BC \approx 6,67(cm)
-
D.
AC \approx 4,37(cm);BC \approx 6,67(cm)
Đáp án : B
Sử dụng tỉ số lương giác của góc nhọn, định lý Pytago để tính cạnh.

Vì tam giác ABC vuông tại A nên \cot C = \dfrac{{AC}}{{AB}} \Rightarrow AC = AB.\cot C = 5.\dfrac{7}{8} = \dfrac{{35}}{8} \approx 4,38\,\,cm
Theo định lý Pytago ta có B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {5^2} + {\left( {\dfrac{{35}}{8}} \right)^2} \Rightarrow BC \approx 6,64
Vậy AC \approx 4,38(cm);BC \approx 6,64(cm).
Cho \alpha là góc nhọn bất kỳ. Biểu thức Q = \dfrac{{1 + {{\sin }^2}\alpha }}{{1 - {{\sin }^2}\alpha }} bằng
-
A.
Q = 1 + {\tan ^2}\alpha
-
B.
Q = 1 + 2{\tan ^2}\alpha
-
C.
Q = 1 - 2{\tan ^2}\alpha
-
D.
Q = 2{\tan ^2}\alpha
Đáp án : B
Biến đổi để sử dụng các đẳng thức lượng giác thích hợp.
Với \tan \alpha = \dfrac{{sin\alpha }}{{\cos \alpha }};{\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha .
Q = \dfrac{{1 + {{\sin }^2}\alpha }}{{1 - {{\sin }^2}\alpha }} = \dfrac{{1 - {{\sin }^2}\alpha + 2{{\sin }^2}\alpha }}{{1 - {{\sin }^2}\alpha }} = \dfrac{{1 - {{\sin }^2}\alpha }}{{1 - {{\sin }^2}\alpha }} + \dfrac{{2{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}
= 1 + 2.{\left( {\dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}} \right)^2} = 1 + 2{\tan ^2}\alpha
Vậy Q = 1 + 2{\tan ^2}\alpha .
Nhà bạn Vũ có một chiếc thang dài 3,5\,m. Cần đặt chân thang cách chân tường một khoảng cách bằng bao nhiêu để nó tạo được với mặt đất một góc “an toàn” là {62^0} (tức là đảm bảo thang không bị đổ khi sử dụng). (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
-
A.
1,65\,m
-
B.
1,64\,\,m
-
C.
1,68\,m
-
D.
1,69\,m
Đáp án : B

Ta có BC = 3,5\,\,m;\widehat C = 62^\circ . Xét \Delta ABC vuông tại A có AC = BC.\cos \widehat C = 3,5.\cos 62^\circ \simeq 1,64\,\,m.
Tính số đo góc nhọn x, biết: {\cos ^2}x - {\sin ^2}x = \dfrac{1}{2}
-
A.
45^\circ
-
B.
30^\circ
-
C.
60^\circ
-
D.
90^\circ
Đáp án : B
Áp dụng hệ thức {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1 để biến đổi giả thiết
Ta có {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1 \Rightarrow {\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x
Từ đó {\cos ^2}x - {\sin ^2}x = \dfrac{1}{2}
\Leftrightarrow {\cos ^2}x - \left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x = \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow {\cos ^2}x = \dfrac{3}{4} \Rightarrow \cos x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} (do x là góc nhọn nên \cos x > 0 )
Suy ra x = 30^\circ .
Cho \Delta ABC vuông tại A. Biết \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{5}{7}. Đường cao AH = 15cm. Tính {\rm{ }}HC.
-
A.
\dfrac{{15\sqrt {74} }}{7}
-
B.
3\sqrt {74} \,cm
-
C.
22\,cm
-
D.
21\,cm
Đáp án : D
Đặt AB = 5a;AC = 7a \left( {a > 0} \right)
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông một cách thích hợp để tìm HC.

Vì \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{5}{7} \Rightarrow AB = 5a;AC = 7a với a > 0.
Theo hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại A ta có
\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}
\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{15}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {5a} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {7a} \right)}^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{225}} = \dfrac{1}{{25{a^2}}} + \dfrac{1}{{49{a^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{225}} = \dfrac{{74}}{{1225{a^2}}} \Rightarrow {a^2} = \dfrac{{666}}{{49}} \Rightarrow a = \dfrac{{3\sqrt {74} }}{7}
Suy ra AB = \dfrac{{15\sqrt {74} }}{7};AC = 3\sqrt {74}
Lại có AH.BC = AB.AC \Rightarrow BC = \dfrac{{AB.AC}}{{AH}} = \dfrac{{222}}{7}
Mà A{C^2} = CH.BC \Rightarrow HC = \dfrac{{A{C^2}}}{{BC}} = 21\,cm.
Cho A = \dfrac{{2x}}{{x + 3\sqrt x + 2}} + \dfrac{{5\sqrt x + 1}}{{x + 4\sqrt x + 3}} + \dfrac{{\sqrt x + 10}}{{x + 5\sqrt x + 6}} với x \ge 0. Chọn đáp án đúng.
-
A.
A = 2\sqrt x
-
B.
Giá trị của A không phụ thuộc vào biến x.
-
C.
A = 3\left( {\sqrt x + 2} \right)
-
D.
A = \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}}
Đáp án : B
+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi qui đồng mẫu các phân thức
+ Từ đó rút gọn phân thức
A = \dfrac{{2x}}{{x + 3\sqrt x + 2}} + \dfrac{{5\sqrt x + 1}}{{x + 4\sqrt x + 3}} + \dfrac{{\sqrt x + 10}}{{x + 5\sqrt x + 6}}= \dfrac{{2x}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \dfrac{{5\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} + \dfrac{{\sqrt x + 10}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}
= \dfrac{{2x\left( {\sqrt x + 3} \right) + \left( {5\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right) + \left( {\sqrt x + 10} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}
= \dfrac{{2x\sqrt x + 6x + 5x + 11\sqrt x + 2 + x + 11\sqrt x + 10}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}
= \dfrac{{2x\sqrt x + 12x + 22\sqrt x + 12}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}
= \dfrac{{2x\sqrt x + 2x + 10x + 10\sqrt x + 12\sqrt x + 12}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}
\begin{array}{l} = \dfrac{{2x\left( {\sqrt x + 1} \right) + 10\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) + 12\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\ = \dfrac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {2x + 10\sqrt x + 12} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\ = \dfrac{{2\left( {x + 5\sqrt x + 6} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\ = \dfrac{{2\left( {x + 2\sqrt x + 3\sqrt x + 6} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\ = \dfrac{{2\left[ {\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right) + 3\left( {\sqrt x + 2} \right)} \right]}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\= \dfrac{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\ = 2\end{array}
Vậy giá trị của A không phụ thuộc vào biến x.
Giả sử a;\,\,b;\,\,c là các số thực dương. Chọn câu đúng.
-
A.
\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \le 2\left( {\sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} } \right)
-
B.
\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \ge 2\left( {\sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} } \right)
-
C.
\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \le \sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a}
-
D.
\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \ge \sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a}
Đáp án : D
Bài toán kết hợp cả hai bất đẳng thức quen thuộc là Cosi và Bunhiacopxki để chứng minh bất đẳng thức.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
+ Bất đẳng thức Cosi cho hai số thực dương: a + b \ge 2\sqrt {ab} .
+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số (a;\,\,b);\,\,(c;\,\,d) ta có {\left( {ac + bd} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right).
Theo bất đẳng thức Cô si:
\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} \ge 2\sqrt {\sqrt {1 + {a^2}} \sqrt {1 + {b^2}} } = 2\sqrt[4]{(1 + {a^2}) (1 + {b^2})}.
Theo bất đẳng thức Bunhia cốpxki:
\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right) = \left( {1 + {a^2}} \right)\left( {{b^2} + 1} \right) \ge {(a + b)^2}
\Rightarrow \sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} \ge 2\sqrt {a + b}
Tương tự: \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \ge 2\sqrt {b + c} \Rightarrow \sqrt {1 + {c^2}} + \sqrt {1 + {a^2}} \ge 2\sqrt {c + a}
Cộng cả ba bất đẳng thức trên rồi chia cho 2 ta có:
\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \ge \sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a}
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1.