Đề kiểm tra giữa học kì 1 Toán 9 - Đề số 1 — Không quảng cáo

Với hai góc \(\alpha ,\beta \) mà \(\alpha  + \beta  = {90^0}\).

Ta có: \(\sin \alpha  = \cos \beta ;\cos \alpha  = \sin \beta ;\)

\(\tan \alpha  = \cot \beta ;\cot \alpha  = \tan \beta \).

Sử dụng kiến thức về căn bậc hai số học, lưu ý rằng căn hậc hai số học của một số không âm luôn là một số không âm.

Với số dương \(a\), số \(x\) được gọi là căn bậc hai số học của \(a\) khi và chỉ khi \(\sqrt a  = x\) hay \( \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = a\end{array} \right.\)

Dựa vào khái niệm căn bậc ba của số thực.

Căn bậc ba của một số thực a là số thực x thỏa mãn \(x^3 = a\) hay \(\sqrt[3]{a} = x\) thỏa mãn \(x^3 = a\).

Tính $x$ theo hệ thức lượng $\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}$

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông $ABC$ ta có:

$\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}$

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{A{B^2}.A{C^2}}} \)\(\Leftrightarrow A{H^2} = \dfrac{{A{B^2}.A{C^2}}}{{A{B^2} + A{C^2} }}\)

$ \Rightarrow AH = \dfrac{{AB.AC}}{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} }} = \dfrac{{12.13}}{{\sqrt {{{12}^2} + {{13}^2}} }} \approx 8,82$

Vậy $x \approx 8,82$ .

Sử dụng công thức khai phương một thương: Với số $a$ không âm và số $b$ dương , ta có $\sqrt {\dfrac{a}{b}}  = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$.

$\sqrt {\dfrac{{81}}{{169}}}  = \dfrac{{\sqrt {81} }}{{\sqrt {169} }} = \dfrac{{\sqrt {{9^2}} }}{{\sqrt {{{13}^2}} }} = \dfrac{9}{{13}}$

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , đường cao $AH$ . Khi đó ta có hệ thức $H{A^2} = HB.HC$

Bước 1: Tính cạnh còn lại theo định lý Pytago

Bước 2: Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn

Theo định lý Py-ta-go ta có: \(B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} \Rightarrow AB = \sqrt {{9^2} - {5^2}}  = 2\sqrt {14} \)

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\) có \(\tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{2\sqrt {14} }}{5} \approx 1,5\)

Ta có độ dài của mặt cầu trượt  là $AB$; $AC = 2,1\,m$ và $\widehat {ABC} = 28^\circ $

Xét tam giác $ACB$ vuông tại $A$ có

$BC = AB:\sin B = 2,1:\sin 28^\circ  \simeq 4,47\,m$

Vậy độ dài của mặt cầu trượt  là $4,47\,m.$

So sánh hai căn bậc hai: Với hai số \(a,b\) không âm ta có \(a < b \Leftrightarrow \sqrt a  < \sqrt b \).

Tách \(5 = 7 - 2 = \sqrt {49}  - 2\).

Vì \(49 < 50 \) nên \( \sqrt {49}  < \sqrt {50} \)

\( 7 < \sqrt {50} \)

\(7 - 2 < \sqrt {50}  - 2 \)

\( 5 < \sqrt {50}  - 2\).

Đưa thừa số vào trong dấu căn

+) $A\sqrt B  = \sqrt {{A^2}B} $ với $A \ge 0$ và $B \ge 0$

+) $A\sqrt B  =  - \sqrt {{A^2}B} $ với $A < 0$ và $B \ge 0$

Ta có $5y\sqrt y $$ = \sqrt {{{\left( {5y} \right)}^2}y}  = \sqrt {25{y^2}.y}  = \sqrt {25{y^3}} $.

-Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt a .\sqrt b  = \sqrt {ab} $

-Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|$

Cách giải:

$\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}{{.7}^2}}  = \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}} .\sqrt {{7^2}}  = \left| { - 5} \right|.\left| 7 \right| = 5.7 = 35$.

Từ tỉ số lượng giác sin, cos để chứng minh.

Giả sử ta có tam giác vuông có các cạnh và góc $\alpha $ như hình vẽ.

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

$\sin \alpha =\frac{b}{a},\cos \alpha =\frac{c}{a},\tan \alpha =\frac{b}{c},\cot \alpha =\frac{c}{b}$.

Ta có: ${{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha ={{\left( \frac{b}{a} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{c}{a} \right)}^{2}}=\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{{{a}^{2}}}=\frac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}}=1$

Vậy ${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1$

Sử dụng kiến thức căn thức bậc hai của một thương.

Với số $a$ không âm và số $b$ dương , ta có $\sqrt {\dfrac{a}{b}}  = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$.

+Tính góc còn lại theo định lý về tổng ba góc trong tam giác

+) Sử dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông để tìm các cạnh .

Xét tam giác  \(ABC\) vuông tại \(A\) có

+) \(\sin B = \dfrac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow AC = BC.\sin B = 15.\sin 55^\circ  \approx 12,29\)

+) \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ  \Rightarrow \widehat C = 180^\circ  - 55^\circ  - 90^\circ  = 35^\circ \)

Vậy \(AC \approx 12,29;\widehat C = 35^\circ \).

Tính \(x\) theo hệ thức lượng \(A{B^2} = BH.BC\) từ đó suy ra \(y\).

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

\(A{B^2} = BH.BC \Leftrightarrow BH = \dfrac{{A{B^2}}}{{BC}} = \dfrac{{100}}{{16}} = 6,25\) \( \Rightarrow CH = BC - BH = 16 - 6,25 = 9,75\)

Vậy \(x = 6,25;y = 9,75\)

Bước 1: Tính cạnh còn lại theo định lý Pytago

Bước 2: Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn

Theo định lý Py-ta-go ta có: \(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} \Rightarrow AB = \sqrt {{1^2} + {2^2}}  = \sqrt 5 \)

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\) có \(\sin B = \dfrac{{AC}}{{AB}} = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}\) và \(\cos B = \dfrac{{BC}}{{AB}} = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}\)

- Đưa biểu thức dưới dấu căn thành hằng đẳng thức \({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\) và \({\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\).

- Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|\)

- Phá dấu giá trị tuyệt đối \(\left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,khi\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,A < 0\end{array} \right.\).

Ta có: \(\sqrt {19 + 8\sqrt 3 }  = \sqrt {{4^2} + 2.4.\sqrt 3  + 3}  = \sqrt {{{\left( {4 + \sqrt 3 } \right)}^2}}  = \left| {4 + \sqrt 3 } \right| = 4 + \sqrt 3 \)

Và \(\sqrt {19 - 8\sqrt 3 }  = \sqrt {{4^2} - 2.4.\sqrt 3  + 3}  = \sqrt {{{\left( {4 - \sqrt 3 } \right)}^2}}  = \left| {4 - \sqrt 3 } \right| = 4 - \sqrt 3 \) (vì \(4 = \sqrt {16}  > \sqrt 3  \Rightarrow 4 - \sqrt 3  > 0\))

Nên \(\sqrt {19 + 8\sqrt 3 }  + \sqrt {19 - 8\sqrt 3 } \)\( = 4 + \sqrt 3  + 4 - \sqrt 3  = 8\)

- Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số \(a,b\) không âm, ta có \(\sqrt a .\sqrt b  = \sqrt {ab} \)

Ta có: \(\sqrt {\left( {5x - 3} \right)\left( {5x + 3} \right)}  = \sqrt {25{x^2} - 9} \) với \(x \ge \dfrac{3}{5}\)

Thay \(x = \sqrt {3,6} \) (tm đk \(x \ge \dfrac{3}{5}\)) vào biểu thức ta được: \(\sqrt {25{x^2} - 9}  = \sqrt {25.{{\left( {\sqrt {3,6} } \right)}^2} - 9}  = \sqrt {81}  = 9\).

+ Sử dụng công thức khai phương một thương: Với số $a$ không âm và số $b$ dương, ta có $\sqrt {\dfrac{a}{b}}  = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$.

+ Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|$

Ta có $4{a^4}{b^2}.\sqrt {\dfrac{9}{{{a^8}{b^4}}}} $$ = 4{a^4}{b^2}.\dfrac{{\sqrt 9 }}{{\sqrt {{a^8}{b^4}} }} = 4{a^4}{b^2}.\dfrac{3}{{\sqrt {{a^8}} .\sqrt {{b^4}} }}$$ = \dfrac{{12{a^4}{b^2}}}{{\sqrt {{{\left( {{a^4}} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {{b^2}} \right)}^2}} }} = \dfrac{{12{a^4}{b^2}}}{{{a^4}.{b^2}}} = 12$.

-Trục căn thức ở mẫu theo công thức

Với các biểu thức $A,B,C$ mà $A \ge 0,A \ne {B^2}$, ta có $\dfrac{C}{{\sqrt A  + B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A  - B} \right)}}{{A - {B^2}}};\dfrac{C}{{\sqrt A  - B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A  + B} \right)}}{{A - {B^2}}}$

-Quy đồng mẫu số các phân số rồi rút gọn

Ta có \(\dfrac{a}{{\sqrt 5  + 1}} + \dfrac{a}{{\sqrt 5  - 2}} - \dfrac{a}{{3 - \sqrt 5 }} - \sqrt 5 a\)$ = \dfrac{{a\left( {\sqrt 5  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 5  - 1} \right)\left( {\sqrt 5  + 1} \right)}} + \dfrac{{a\left( {\sqrt 5  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt 5  - 2} \right)\left( {\sqrt 5  + 2} \right)}} - \dfrac{{a\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}}{{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}} - \sqrt 5 a$

$ = \dfrac{{a\left( {\sqrt 5  - 1} \right)}}{4} + \dfrac{{a\left( {\sqrt 5  + 2} \right)}}{1} - \dfrac{{a\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}}{4} - \sqrt 5 a$$ = \dfrac{{a\left( {\sqrt 5  - 1} \right) + 4a\left( {2 + \sqrt 5 } \right) - a\left( {3 + \sqrt 5 } \right) - 4\sqrt 5 a}}{4}$

$ = \dfrac{{a\left( {\sqrt 5  - 1 + 8+ 4\sqrt 5  - 3 - \sqrt 5  - 4\sqrt 5 } \right)}}{4} = \dfrac{{4a}}{4} = a$

Sử dụng công thức đưa thừa số vào trong dấu căn và công thức khai phương một tích để xuất hiện nhân tử chung từ đó thực hiện phép tính.

Đưa thừa số vào trong dấu căn

+) $A\sqrt B  = \sqrt {{A^2}B} $ với $A \ge 0$ và $B \ge 0$

+) $A\sqrt B  =  - \sqrt {{A^2}B} $ với $A < 0$ và $B \ge 0$

Công thức khai phương một tích

$\sqrt {AB}  = \sqrt A .\sqrt B \,\,\left( {A \ge 0;B \ge 0} \right)$

Ta có \(5\sqrt a  - 4b\sqrt {25{a^3}}  + 5a\sqrt {16a{b^2}}  - \sqrt {9a} \)$ = 5\sqrt a  - 4\sqrt {25{a^3}{b^2}}  + 5\sqrt {16a{b^2}.{a^2}}  - \sqrt 9 .\sqrt a $

$ = 5\sqrt a  - 4\sqrt {25} .\sqrt {{a^3}{b^2}}  + 5\sqrt {16} .\sqrt {{a^3}{b^2}}  - 3\sqrt a $$ = \left( {5\sqrt a  - 3\sqrt a } \right) - \left( {4.5\sqrt {{a^3}{b^2}}  - 5.4\sqrt {{a^3}{b^2}} } \right)$$ = 2\sqrt a $

Sử dụng: với $P = \dfrac{a}{b}$ với $a,b \in \mathbb{Z}$ thì $P \in \mathbb{Z}$ khi $ a \vdots b$

Ta có để $P = \dfrac{2}{{\sqrt x  + 1}}$ thì $2 \vdots \left( {\sqrt x  + 1} \right)$ $ \left( {\sqrt x  + 1} \right) \in $Ư$\left( 2 \right) = \left\{ {1; - 1;2; - 2} \right\}$

Mà $\sqrt x  + 1 > 0$ với $x \ge 0$ nên $\sqrt x  + 1 \in \left\{ {1;2} \right\}$

+) $\sqrt x  + 1 = 1 $ hay $ x = 0$ (TM )

+) $\sqrt x  + 1 = 2 $ hay $ x = 1$ (TM )

Vậy có hai giá trị của $x$ thỏa mãn điều kiện.

-Sử dụng công thức khai phương một thương \(\sqrt {\dfrac{A}{B}}  = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\) với \(A \ge 0,B > 0\) và công thức khai phương một tích  \(\sqrt {AB}  = \sqrt A .\sqrt B ,\,\,\left( {A,B \ge 0} \right)\)

-Khử mẫu biểu thức lấy căn theo công thức \(\sqrt {\dfrac{A}{B}}  = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{B}\,\left( {A \ge 0,B > 0} \right)\)

-Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|\)

-Cộng trừ các căn thức bậc hai.

Với $a>0$ ta có \(2\sqrt a  - \sqrt {9{a^3}}  + {a^2}\sqrt {\dfrac{{16}}{a}}  + \dfrac{2}{{{a^2}}}\sqrt {36{a^5}} \)$ = 2\sqrt a  - \sqrt {9{a^2}.a}  + {a^2}\dfrac{{\sqrt {16a} }}{a} + \dfrac{2}{{{a^2}}}.\sqrt {36{a^4}.a} $

$ = 2\sqrt a  - 3a\sqrt a  + 4a\sqrt a  + \dfrac{2}{{{a^2}}}.6{a^2}\sqrt a $$ = 2\sqrt a  - 3a\sqrt a  + 4a\sqrt a  + 12\sqrt a  = 14\sqrt a  + a\sqrt a $

- Áp dụng \(\dfrac{{\sqrt[3]{a}}}{{\sqrt[3]{b}}} = \sqrt[3]{{\dfrac{a}{b}}}\)  và \(\sqrt[3]{{{a^3}}} = a\).

Ta có: \(\dfrac{{\sqrt[3]{{ - 64{a^5}{b^5}}}}}{{\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}}}}}\)\( = \sqrt[3]{{\dfrac{{ - 64{a^5}{b^5}}}{{{a^2}{b^2}}}}} = \sqrt[3]{{ - 64{a^3}{b^3}}} = \sqrt[3]{{{{\left( { - 4ab} \right)}^3}}} =  - 4ab\).

Bước 1: Tính \(BC\) theo định lý Pytago

Bước 2: Tính \(x,y\) theo hệ thức lượng \(A{B^2} = BH.BC;A{C^2} = CH.BC\)

Theo định lý Pytago ta có \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \Leftrightarrow B{C^2} = 25 \Leftrightarrow BC = 5\)

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

\(A{B^2} = BH.BC \Rightarrow BH = \dfrac{{A{B^2}}}{{BC}} = \dfrac{{{3^2}}}{5} = 1,8\) hay \(x = 1,8\)

\( \Rightarrow CH = BC - BH = 5 - 1,8 = 3,2\) hay \(y = 3,2\).

Vậy \(x = 1,8;y = 3,2\)

Bước 1: Tính $BC$ theo định lý Pytago

Bước 2: Tính $x,y$ theo hệ thức lượng $AH.BC = AB.AC$

Theo định lý Pytago ta có $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \Leftrightarrow B{C^2} = 74 \Leftrightarrow BC = \sqrt {74} $

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

$AH.BC = AB.AC \Leftrightarrow AH = \dfrac{{AB.AC}}{{BC}} = \dfrac{{5.7}}{{\sqrt {74} }} = \dfrac{{35\sqrt {74} }}{{74}}$

Vậy $x = \dfrac{{35\sqrt {74} }}{{74}};y = \sqrt {74} $

Bước 1: Tính cạnh cần thiết lại theo định lý Pytago hoặc hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Bước 2: Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn

Đổi $0,5\,dm = 5\,cm$

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$,

theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có

$A{B^2} = BH.BC \Rightarrow BC = \dfrac{{A{B^2}}}{{BH}} = \dfrac{{{{13}^2}}}{5} = 33,8\,\,cm$

$ \Rightarrow \sin C = \dfrac{{AB}}{{BC}}$

$= \dfrac{{13}}{{33,8}} \approx 0,38$

Bước 1 : Đưa các tỉ số lượng giác về cùng một góc hoặc cùng loại (sử dụng tính chất "Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia")

Bước 2 : Sử dụng đẳng thức lượng giác \(\tan \alpha .\cot\alpha  = 1\).

Ta có \(\tan 80^\circ  = cot10^\circ ;\tan 70^\circ  = cot20^\circ ;\tan 50^\circ  = cot40^\circ ;\tan 60^\circ  = \cot 30^\circ \) và \(\tan \alpha .cot\alpha  = 1\)

Nên \(B = \tan 10^\circ .\tan 20^\circ .\tan 30^\circ .\tan 40^\circ .\tan 50^\circ .\tan 60^\circ .\tan 70^\circ .tan80^\circ \)\( = \tan 10^\circ .\tan 20^\circ .\tan 30^\circ .\tan 40^\circ .\cot 40^\circ .\cot 30^\circ .\cot 20^\circ .\cot 10^\circ \)

\( = \left( {\tan 10^\circ .\cot 10^\circ } \right).\left( {\tan 20^\circ .\cot 20^\circ } \right).\left( {\tan 30^\circ .\cot 30^\circ } \right).\left( {\tan 40^\circ .\cot 40^\circ } \right)\)

\( = 1.1.1.1 = 1\)

Vậy \(B = 1\).

+) Tính cạnh còn lại theo định lý Py-ta-go

+) Tìm tỉ số lượng giác của góc từ đó suy ra góc.

Xét tam giác  \(ABC\) vuông tại \(A\) có

+) $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {5^2} + {7^2} = 74 \Rightarrow BC = \sqrt {74} (cm)$

+) $\tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{5}{7} \Rightarrow \widehat C \approx 35^\circ 32'$

Vậy $BC = \sqrt {74}(cm) ;\widehat C \approx 35^\circ 32'$.

+) Kẻ đường cao $AH$

+) Sử dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông thích hợp  và định lý Py-ta-go để tính cạnh.

Kẻ đường cao \(AH\).

Xét tam giác vuông \(ABH\), ta có: \(BH = AB.\cos B = AB.\cos {60^0} = 16.\dfrac{1}{2} = 8\)\(AH = AB.\sin B = AB.\sin {60^0} = 16.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 8\sqrt 3 \).

Áp dụng định lý Pythago vào tam giác vuông \(AHC\) ta có:

\(H{C^2} = A{C^2} - A{H^2} = {14^2} - {\left( {8\sqrt 3 } \right)^2} = 196 - 192 = 4\). Suy ra \(HC = 2\). Vậy \(BC = CH + HB = 2 + 8 = 10\).

Từ giả thiết suy ra \(AC = 12\,\,km;\,\,\widehat B = 12^\circ \).

Xét tam giác \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = AC.\cot B = 12.\cot 12^\circ  \simeq 56,5\,km\)

- Đưa biểu thức dưới dấu căn thành hằng đẳng thức.

- Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|$

- Sử dụng bất đẳng thức \(\left| A \right| + \left| B \right| \ge \left| {A + B} \right|\) với mọi \(A,B.\)  Dấu ‘=’ xảy ra \( \Leftrightarrow A = B\)

Ta có \(A = \sqrt {{m^2} + 2m + 1}  + \sqrt {{m^2} - 8m + 16} \)\( = \sqrt {{{\left( {m + 1} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {m - 4} \right)}^2}}  = \left| {m + 1} \right| + \left| {m - 4} \right|\)

Ta có \(\left| {m + 1} \right| + \left| {m - 4} \right| = \left| {m + 1} \right| + \left| {4 - m} \right| \ge \left| {m + 1 + 4 - m} \right| = 5\)

Dấu “=” xảy ra khi \(m + 1 = 4 - m \) hay \( 2m = 3 \Leftrightarrow m = \dfrac{3}{2}\)

Suy ra GTNN của \(B\) là \(5 \) khi \( m = \dfrac{3}{2}\) .