Đề kiểm tra 45 phút chương 5: Hệ thức lượng trong tam giác vuông - Đề số 1 — Không quảng cáo

Với hai góc \(\alpha ,\beta \) mà \(\alpha  + \beta  = {90^0}\).

Ta có: \(\sin \alpha  = \cos \beta ;\cos \alpha  = \sin \beta ;\)

\(\tan \alpha  = \cot \beta ;\cot \alpha  = \tan \beta \).

Ta thấy \(AH.BC = AB.AC\)  nên D sai.

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Khi đó ta có hệ thức \(H{A^2} = HB.HC\)

Hay “Trong tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng Tích hai hình chiếu của hai cạnh gọc vuông trên cạnh huyền”

Giải tam giác vuông là tìm tất cả các cạnh và góc của tam giác vuông đó

Sử dụng các tỉ số lượng giác, định lý về góc trong tam giác, hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông.

Xét $\Delta ABC$ có: $\widehat A = {90^o}$ $\widehat B + \widehat C = 90^\circ  \Rightarrow \widehat C = 90^\circ  - \widehat B = {90^o} - {48^o} = {42^o}$ ($\widehat C$  và $\widehat B$  là hai góc phụ nhau) Áp dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

\(AC = BC.\sin B = 50.\sin 48^\circ  \approx 37,2cm\)

\(AB = BC.\cos B = 50.\cos 48^\circ  \approx 33,5cm\)

Vậy \(AC = 37,2\,cm;\,AB = 33,5\,cm;\,\widehat C = 42^\circ \) .

+ Tính góc \(ABC\) từ đó suy ra góc \(ABD\)

+ Sử dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông \(ABD\)  để tính \(BD.\)

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(\widehat {ABC} + \widehat C = 90^\circ  \Rightarrow \widehat {ABC} = 50^\circ \)

Mà \(BD\) là phân giác góc \(ABC\) nên \(\widehat {ABD} = \dfrac{1}{2}\widehat {ABC} = 25^\circ \)

Xét tam giác \(ABD\) vuông tại \(A\) ta có \(BD = \dfrac{{AB}}{{\cos \widehat {ABD}}} = \dfrac{{21}}{{\cos 25^\circ }} \approx 23,2\,cm\)

Bước 1: Tính cạnh còn lại theo định lý Pytago

Bước 2: Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn

Theo định lý Py-ta-go ta có: $B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} \Rightarrow AB = \sqrt {{8^2} - {6^2}}  \approx 5,29$

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $C$ có $\tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}} \approx \dfrac{{5,29}}{6} \approx 0,88.$

Ta có độ dài của mặt cầu trượt  là $AB$; $AC = 2,1\,m$ và $\widehat {ABC} = 28^\circ $

Xét tam giác $ACB$ vuông tại $A$ có

$BC = AB:\sin B = 2,1:\sin 28^\circ  \simeq 4,47\,m$

Vậy độ dài của mặt cầu trượt  là $4,47\,m.$

Tính \(x\) theo hệ thức lượng \(A{B^2} = BH.BC\) từ đó suy ra \(y\).

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

\(A{B^2} = BH.BC \Leftrightarrow BH = \dfrac{{A{B^2}}}{{BC}} = \dfrac{{100}}{{16}} = 6,25\) \( \Rightarrow CH = BC - BH = 16 - 6,25 = 9,75\)

Vậy \(x = 6,25;y = 9,75\)

Bước 1: Tính cạnh còn lại theo định lý Pytago

Bước 2: Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn

Theo định lý Py-ta-go ta có: \(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} \Rightarrow AB = \sqrt {{1^2} + {2^2}}  = \sqrt 5 \)

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\) có \(\sin B = \dfrac{{AC}}{{AB}} = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}\) và \(\cos B = \dfrac{{BC}}{{AB}} = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}\)

Bước 1: Tính $BC$ theo định lý Pytago

Bước 2: Tính $x,y$ theo hệ thức lượng $A{B^2} = BH.BC;A{C^2} = CH.BC$

Theo định lý Pytago ta có $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \Leftrightarrow B{C^2} = 100 \Leftrightarrow BC = 10$

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

$A{B^2} = BH.BC \Rightarrow BH = \dfrac{{A{B^2}}}{{BC}} $

$= \dfrac{{{6^2}}}{10} = 3,6$ hay $x = 3,6$

$ \Rightarrow CH = BC - BH $$= 10 - 3,6 = 6,4.$

hay $y = 6,4$ .

Vậy $x = 3,6;y = 6,4.$

Bước 1: Tính $BC$ theo định lý Pytago

Bước 2: Tính $x,y$ theo hệ thức lượng $AH.BC = AB.AC$

Theo định lý Pytago ta có $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \Leftrightarrow B{C^2} = 74 \Leftrightarrow BC = \sqrt {74} $

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

$AH.BC = AB.AC \Leftrightarrow AH = \dfrac{{AB.AC}}{{BC}} = \dfrac{{5.7}}{{\sqrt {74} }} = \dfrac{{35\sqrt {74} }}{{74}}$

Vậy $x = \dfrac{{35\sqrt {74} }}{{74}};y = \sqrt {74} $

Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn, định lý Pytago để tính cạnh.

Vì tam giác \(ABC\) vuông tại  \(A\) nên \(\tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow AC = AB:\tan C = 9:\dfrac{5}{4} = 7,2cm\)

Theo định lý Pytago ta có \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {9^2} + 7,{2^2} = 132,84 \Rightarrow BC = \dfrac{{9\sqrt {41} }}{5} \approx 11,53\)

Vậy \(AC = 7,2;BC \approx 11,53.\)

+) Kẻ đường cao $AD$

+) Sử dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông thích hợp  và định lý Py-ta-go để tính cạnh.

+) Sử dụng công thức tính diện tích tam giác.

Kẻ đường cao \(AD\).

Xét tam giác vuông \(ACD\), có $AD = AC.\sin C = 3,5.\sin 50^\circ  \approx 2,68\,cm$; $CD = AC.\cos C = 3,5.\cos 50^\circ  \approx 2,25\,\,cm$

Xét tam giác vuông \(ABD\), có $BD = AD.\cot B \approx 2,68.\cot 60^\circ  \approx 1,55\,\,cm$

Suy ra $BC = BD + CD = 3,8$

Do đó ${S_{ABC}} = \dfrac{{AD.BC}}{2} \approx 5,09$$c{m^2}$.

+) Kẻ đường cao $AH$

+) Sử dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông thích hợp  và định lý Py-ta-go để tính cạnh.

Kẻ đường cao \(AH\).

Xét tam giác vuông \(ABH\), ta có: \(BH = AB.\cos B = AB.\cos {60^0} = 16.\dfrac{1}{2} = 8\)\(AH = AB.\sin B = AB.\sin {60^0} = 16.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 8\sqrt 3 \).

Áp dụng định lý Pythago vào tam giác vuông \(AHC\) ta có:

\(H{C^2} = A{C^2} - A{H^2} = {14^2} - {\left( {8\sqrt 3 } \right)^2} = 196 - 192 = 4\). Suy ra \(HC = 2\). Vậy \(BC = CH + HB = 2 + 8 = 10\).

Ta có \(BC = 3,5\,\,m;\widehat C = 62^\circ \). Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(AC = BC.\cos \widehat C = 3,5.\cos 62^\circ  \simeq 1,64\,\,m\).

Sử dụng  định lý Py-ta-go trong tam giác vuông

Giả sử \(AB\) là độ cao của cây tre, \(C\) là điểm gãy.

Đặt \(AC = x \Rightarrow CB = CD = 8-x\)

Vì \(\Delta ACD\) vuông tại \(A\)

\(⇒A{C^2} + A{D^2} = C{D^2}\)\( \Rightarrow {x^2} + 3,{5^2} = {\left( {8 - x} \right)^2}\)\( \Rightarrow 16x = \dfrac{{207}}{4} \)\(\Rightarrow x = \dfrac{{207}}{{64}} \approx 3,23m\)

Vậy điểm gãy cách gốc cây \(3,23\,m\)

Đặt \(AB = 5a;AC = 7a\) \(\left( {a > 0} \right)\)

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông một cách thích hợp để tìm  \(HC.\)

Vì \(\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{5}{7} \Rightarrow AB = 5a;AC = 7a\)  với \(a > 0.\)

Theo hệ thức lượng trong tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) ta có

\(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{15}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {5a} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {7a} \right)}^2}}}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{225}} = \dfrac{1}{{25{a^2}}} + \dfrac{1}{{49{a^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{225}} = \dfrac{{74}}{{1225{a^2}}} \Rightarrow {a^2} = \dfrac{{666}}{{49}} \Rightarrow a = \dfrac{{3\sqrt {74} }}{7}\)

Suy ra \(AB = \dfrac{{15\sqrt {74} }}{7};AC = 3\sqrt {74} \)

Lại có \(AH.BC = AB.AC \Rightarrow BC = \dfrac{{AB.AC}}{{AH}} = \dfrac{{222}}{7}\)

Mà \(A{C^2} = CH.BC \Rightarrow HC = \dfrac{{A{C^2}}}{{BC}} = 21\,cm.\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(A{B^2} = BH.BC;A{C^2} = CH.BC\)

Ta có \(BC = BH + HC = y + 32\)

Áp dụng hệ thức lượng \(A{B^2} = BH.BC\)  trong tam giác vuông \(ABC\) ta có

\(\begin{array}{l}{30^2} = y\left( {y + 32} \right)\\ \Leftrightarrow {y^2} + 32y - 900 = 0\\ \Leftrightarrow {y^2} + 50y - 18y - 90 = 0\\ \Leftrightarrow y\left( {y + 50} \right) - 18\left( {y + 50} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {y - 18} \right)\left( {y + 50} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y - 18 = 0\\y + 50 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 18\left( N \right)\\y =  - 50\,\left( L \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Suy ra \(y = 18 \Rightarrow BC = 18 + 32 = 50\)

Áp dụng hệ thức lượng \(A{C^2} = CH.BC\) ta có

\({x^2} = 32.50 \Leftrightarrow {x^2} = 1600 \Rightarrow x = 40.\)

Vậy \(x = 40;y = 18.\)

Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác vuông

Theo đề bài ta có: \(AB = 2a \Rightarrow OA = OB = a\)

Ta có: \(\widehat {ONB} = \widehat {AOM} = \alpha \) (cùng phụ với \(\widehat {BON}\) )

Xét \(\Delta AOM\) có \(\widehat A = 90^\circ \) Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có:

\(OA = OM.\cos \alpha  \Rightarrow OM = \dfrac{a}{{\cos \alpha }}\) Xét \(\Delta BON\) có \(\widehat B = 90^\circ \) Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có:

\(OB = ON.\sin \alpha  \Rightarrow ON = \dfrac{a}{{\sin \alpha }}\) Vậy diện tích tam giác \(MON\)  là: \(\dfrac{1}{2}OM.ON = \dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{{\cos \alpha }}.\dfrac{a}{{\sin \alpha }} = \dfrac{{{a^2}}}{{2\sin \alpha .\cos \alpha }}\)

Ta có: \(\sin B = \dfrac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow {\sin ^2}B = \dfrac{{A{C^2}}}{{B{C^2}}}\)

\(\sin C = \dfrac{{AB}}{{BC}} \Rightarrow {\sin ^2}C = \dfrac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}}\;\;\)

\(\tan B = \dfrac{{AC}}{{AB}} \);  \( \tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}}\)

Vậy \(A = {\sin ^2}B + {\sin ^2}C - \tan B.\tan C\;\)

\( = \dfrac{{A{C^2}}}{{B{C^2}}} + \dfrac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}} - \dfrac{{AC}}{{AB}}.\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{A{C^2} + A{B^2}}}{{B{C^2}}} - 1\)

\( = \dfrac{{B{C^2}}}{{B{C^2}}} - 1 = 0\)  (vì theo định lý Pytago thì \(A{C^2} + A{B^2} = B{C^2}\)  )